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Calcul de deux intégrales

Posté par
hiiragi 02-12-07 à 21:17

Bonsoir,
J'ai à calculer deux intégrales je trouve pas quelle méthode utiliser.
Si vous pouviez m'aider...


5$\bigint_0^x \frac{1}{1-t} \frac{1-t^2}{1+t^2} dt = ?


4$f(t)= \frac{1}{1- ln(1-t)} avec 4$t\neq 1 et 4$f(1)=0 est continue sur [0,1] mais est elle dérivable en 1 ?

5$\bigint_0^x \frac{1}{1-t} \frac{1}{1- ln(1-t)} dt = ?


Je ne vois vraiment pas comment faire.

Un indice ?
Merci !

Posté par
Nightmarere : Calcul de deux intégrales 02-12-07 à 21:22

Bonsoir

Dans la première, (1-t²)=(1-t)(1+t) donc l'intégrande devient (1+t)/(1+t²) ie 1/(1+t²) + t/(1+t²)
En intégrant on obtient donc Arctan(t)+ ln(1+t²)/2 à faire varier entre 0 et x

Seconde question : reviens à la définition du taux de variation.

La troisième, essaye pas une intégration par partie !

Posté par
disdrometrere : Calcul de deux intégrales 02-12-07 à 21:24

hola !

\bigint_0^x\frac{1}{1-t}\frac{1-t^2}{1+t^2}dt=\bigint_0^x\frac{1+t}{1+t^2}dt=\bigint_0^x\frac{1}{1+t^2}dt+\bigint_0^x\frac{t}{1+t^2}dt

plus facile à intégrer comme cela ?

non ?

D.

Posté par
disdrometrere : Calcul de deux intégrales 02-12-07 à 21:25

salut Nightmare

Posté par
raymond CorrecteurCalcul de deux intégrales 02-12-07 à 21:25

Bonsoir.

La fraction que tu proposes se simplifie par 1 - t. Il reste :

3$\textrm\fra{1+t}{1+t^2} = \fra{1}{1+t^2} + \fra{1}{2}\times\fra{2t}{1+t^2}

Je regarde la suivante.

Posté par
Shakere : Calcul de deux intégrales 02-12-07 à 21:26

bonsoir je conseillerais d'utiliser les formules suivantes

si t = tan (a /2);  cos a = (1-t²)/(1+t²)
                    
                    sin a = 2t/(1+t²)


pour trouver un changement de variable adéquat

Posté par
Shakere : Calcul de deux intégrales 02-12-07 à 21:26

oupss

Posté par
Nightmarere : Calcul de deux intégrales 02-12-07 à 21:26

Salut disdrometre et tout le monde

Posté par
Shakere : Calcul de deux intégrales 02-12-07 à 21:27

Salut Tout le monde

Posté par
hiiragire : Calcul de deux intégrales 02-12-07 à 21:29

Que de réponses !

Merci infiniment Nightmare, disdrometre et raymond !

Pour la première intégration (j'ai honte)... :

4$F(x)= arctan(x) - arctan (0) + 1/2 ln (1+x^2)- ln(1)
4$F(x)= arctan(x) + 1/2 ln (1+x^2)

Posté par
hiiragire : Calcul de deux intégrales 02-12-07 à 21:47

En en revenant à la définition du taux de variation j'ai un problème pour calculer

4$ \relstack{\rm~lim}{2$x\rightar\1}\ \frac{f(x+h)-f(x)}{h} = \frac{f(1+h)}{h} = \frac{1}{h-h ln(-h)}

Etrange résultat... Qu'en dites vous ?

Posté par
Nightmarere : Calcul de deux intégrales 02-12-07 à 21:49

A priori c'est bon, sauf que c'est la limite lorsque h tend vers O et on prend x=1

Ton dénominateur tend vers 0 donc ton taux de variation vers l'infini. Ta fonciton n'est pas dérivable en 0.

Posté par
hiiragire : Calcul de deux intégrales 02-12-07 à 22:03

Ah oui ! J'avais oublié de faire tendre le h ver l'infini !

Finalement, pour la dernière question posée l'IPP me pose problème

4$ F(x)= \Bigint_0^x \frac{1}{1-t}\frac{1}{1-ln(1-t)}dt
Pour passer par l'IPP je suppose que l'on prend f(t)=\frac{1}{1-ln(1-t)} et g'(t) = \frac{1}{1-t}

[tex]4$ F(x)= \frac{ln( |1-x| )}{1-x} - \Bigint_0^x \frac{-ln( |1-t| )}\frac{1}{(1-t)(1-ln(1-t))^2} dt

J'ai dû faire une erreur de dérivation de f(t) !

Posté par
hiiragire : Calcul de deux intégrales 02-12-07 à 22:08

Ah oui ! J'avais oublié de faire tendre le h ver l'infini !

Finalement, pour la dernière question posée l'IPP me pose problème


Pour passer par l'IPP je suppose que l'on prend f(t)=\frac{1}{1-ln(1-t)} et g'(t) = \frac{1}{1-t}

4$ F(x)= \frac{ln( |1-x| )}{1-x} - \Bigint_0^x \frac{1}{(1-t)(1-ln(1-t))^2} dt

J'ai dû faire une erreur de dérivation de f(t) !

(Correction + LaTeX)

Merci pour ton aide !

Posté par
veledare : Calcul de deux intégrales 02-12-07 à 23:31

bonsoir,
pour la troisième tu peux faire un changement de variable u=ln(1-t) et tu es amené à trouver une primitive de -u'/(1-u) ce qui donne ln|1-u| soit ln|1-ln(1-t)| sauf erreur de calcul


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