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Calcul de forme indéterminées.

Posté par Obi (invité) 23-09-06 à 12:55

Bonjour à tous,

je tente en vain de saisir la manière de calculer des formes indterminées autrement que par la factorisation :

exemple : lim (x² + 1)/(e^x)
          x->+00
Si je multiplie par ln() en haut et en bas, le problème est le même car nous retombons sur une forme indéterminée.

J'ai également pour problème(par exemple) ce genre de fonction :

lim sin(2x)/4x car bien sûr lim sin(2x) = 0
x-->0                       x-->0

Ensuite ce genre de fonction commence carrément à me vexer :

lim (RacinCarré(x+1) - 2)/(x-3)
x-->3

mais ou sont les règles? Quelles sont donc les règles svp?
ce serait très gentil de me répondre.

Merci d'avance.

Posté par
raymond CorrecteurCalcul de forme indéterminées. 23-09-06 à 13:14

Bonjour.
Il n'existe pas de technique universelle, mais seulement quelques méthodes issues de tes connaissances antérieures.
1°) Tu as vu en terminale que l'exponentielle l'emporte sur toute puissance.
2$\textrm \lim_{x\to{+\infty}}\frac{x^2 + 1}{e^x} = \lim_{x\to{+\infty}}x^{2}e^{-x} = 0

2°) Tu sais que la limite, lorsque x tend vers 0 de (sinx)/x est 1. Essaie de t'y ramener.
2$\textrm\frac{sin2x}{4x} = \frac{1}{2}\times\frac{sin2x}{2x}.
Donc, en 0, la limite est 1/2.

3°) Tu fais appel aux expressions conjuguées : multiplie haut et bas par :
2$\textrm\sqrt{x+1} + 2.

Toutes ces méthodes sont vues en première et terminale.

Cordialement RR.

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Calcul de forme indéterminées. 23-09-06 à 13:15

Bonjour,

Citation :
Si je multiplie par ln() en haut et en bas,

Quelle horreur.

Pour la première, il faut utiliser la limite usuelle (croissance comparée) :
lim(e^x / x^n) = +oo (n entier naturel)

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Calcul de forme indéterminées. 23-09-06 à 13:19

Les méthodes ci-dessous permettent de lever la plupart des indéterminations vues au lycée. Il peut arriver qu'il soit nécessaire d'en combiner plusieurs, ou encore que plusieurs permettent indépendamment de résoudre l'exercice.

(1) factoriser le numérateur et le dénominateur par le terme de plus haut degré

Quand 3$x\to +\infty, 3$\frac{\sqrt{x^2+1}}{x}=\frac{|x|}{x}\frac{\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}{1}\to 1

(2) [à condition d'avoir déjà vu en cours la notion de dérivée] reconnaître le taux d'accroissement d'une fonction

Quand 3$x\to 0, 3$\displaystyle\frac{\cos{x^2}-1}{x^2}=\frac{\cos{x^2}-\cos 0}{x^2-0}\to \cos '0=-\sin 0=0

(3) multipler par la quantité conjuguée (surtout en cas de racines)

Quand 3$x\to +\infty, 3$\sqrt{x^2+1}-x=\frac{(\sqrt{x^2+1}-x)(\sqrt{x^2+1}+x)}{\sqrt{x^2+1}+x}=\frac{x^2+1-x^2}{\sqrt{x^2+1}+x}=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}+x}\to 0

(4) dans le cas de la limite en un réel d'une fraction de polynômes, factoriser numérateur et dénominateur

Quand 3$x\to 1, 3$\frac{x^4+x^3-2}{x^3+x^2-2}=\frac{(x-1)(x^3+2x^2+2x+2)}{(x-1)(x^2+2x+2)}=\frac{x^3+2x^2+2x+2}{x^2+2x+2}\to\frac{7}{5}

(5) utiliser les formules trigonométriques

Quand 3$x\to 0, 3$\frac{\sin\left(\frac{\pi}{4}+x\right)-\sin\left(\frac{\pi}{4}-x\right)}{x}=\frac{2\cos\frac{\pi}{4}\sin x}{x}\to\sqrt{2}
Remarque : sur cet exemple, on aurait également pu utiliser la méthode (2).

(6) reconnaître une limite connue

Quand 3$x\to +\infty, 3$x^2\sin{\frac{2}{x^2}}=2\frac{\sin{\frac{2}{x^2}}}{\frac{2}{x^2}}\to 2

Exemples de limites connues :
3$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1, 3$\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2}, 3$\lim_{x\to +\infty}\frac{\ln x}{x}=0, 3$\lim_{x\to 0^+}x\ln x=0

(7) [hors programme] Règle de L'Hospital
Théorème. Soit a un point d'un intervalle I non réduit à a. Soient f et g deux fonctions définies sur I\setminus\{a\} (et même éventuellement sur I tout entier mais ce n'est pas indispensable) et dérivables en tout point de l'intérieur de I\setminus\{a\}. Si :
(i) f et g tendent toutes deux vers 0 ou toutes deux vers l'infini en a, et
(ii) g' ne s'annule pas sur I\setminus\{a\},
alors il existe un voisinage V de a tel que g ne s'annule pas sur V\cap I\setminus\{a\}, et, sous réserve d'existence de la limite de droite :
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}
Dans le cas où a serait l'extrémité gauche (resp. droite) de I, ces deux limites sont à entendre comme des limites à droite (resp. à gauche).
(merci à Tigweg pour l'aide précieuse apportée à la formulation de ce théorème )

Nicolas

Posté par
raymond Correcteurre : Calcul de forme indéterminées. 23-09-06 à 13:40

Bonjour Nicolas.
Quel superbe travail, merci pour tous les élèves qui, je l'espère, consulteront ce message.
Il faut absolument le garder comme référence.
Cordialement RR.

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Calcul de forme indéterminées. 23-09-06 à 13:43

Merci raymond pour cette appréciation sympathique.

Posté par Obi (invité)Merci bcp!!! 23-09-06 à 14:44

oui, merci bcp Nicolas.

Ce sont des règles très utiles, qu'on ne nous apprend pas tout le temps(ou à travers des exemples). Merci encore!!!

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Calcul de forme indéterminées. 23-09-06 à 14:46

Je t'en prie.


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