La réponse donnée à la question de sarwell convient tout aussi bien. En voici la copie :
En général, on s'en tire facilement en posant x=1/n et en faisant tendre x vers 0.
Par développement en série, cela conduit à un développement asymptotique et à fortiori à un équivalent. Exemple pour le premier :
(1+ (a/n))^n = (1+ax)^(1/x) = exp((1/x)ln(1+ax))
(1/x)ln(1+ax) = (ax-(1/2)(ax)^2+O(x^3))/x
= a-(a^2)x/2+O(x^3)
(1+ax)^(1/x)=exp(a-(a^2)x/2+O(x^3))
= exp(a)exp(-(a^2)x/2)exp(1+O(x^2))
=exp(a)(1-(a^2)x/2+O(x^2)
(1+a/n)^n = exp(a)(1-((a^2)/2n)+O(1/n^2))
Donc, la limite pour n tendant vers l'infini est exp(a)

il est évident que (a) doit être remplacé par (k) pour passer de la question de sarwell à celle de joe92.

Bonjour.

Un procédé élémentaire.





La dernière fraction est du type :



La limite lorsque h tend vers zéro est le nombre dérivé en 0 de ln(1+h) : 1

A plus RR.

Merci beaucoup. Il fallait donc passer par les développements limités. Il faudrait que je m'y remette. Quand on divise O(x³) par x, on n'obtient pas O(x²) ?

Sinon, comment passes-tu avec ces lignes de O(x³) à 1 + O(x²) ?
exp(a-(a^2)x/2+O(x^3))
= exp(a)exp(-(a^2)x/2)exp(1+O(x^2))

De plus, je ne vois pas comment tu passes de
=exp(a)exp(-(a^2)x/2)exp(1+O(x^2))
à
=exp(a)(1-(a^2)x/2+O(x^2)

Il manque une parenthèse dans la dernière expression.

Merci,
Joe

Très bien ta démonstration, Raymond. Elle fait intervenir le nombre dérivé et a le mérite d'être courte.

Bien sûr, pour donner une réponse suffisante et donc courte à la question, il n'était pas indispensable de passer par les DL. Autrement dit, le premier terme significatif du DL suffit et alors on n'appelle plus cela un DL.
Pour moi, c'était une occasion pour montrer comment obtenir le développement asymptotique, qui est plus instructif que la limite seule ( mais il est clair que c'est largement au-delà de que ce qui était strictement demandé ).