Niveau Maths sup

calcul de limite

Posté par kamilia227 (invité) 16-12-07 à 23:14

Bonsoir j'aurais besoin d'aide pour calculer la limite que voici:
u_n= 1 + (1/2) +...+ (1/n)
J'étudie u_2n- u_n (Comme il m'est indiqué dans l'énnoncé)
mais je n'arrive pas à simplifier...
Merci de bien vouloir m'aider

Posté par re : calcul de limite 16-12-07 à 23:23

Bonsoir

Ben on a clairement $3$\rm u_{2n}-u_{n}=\Bigsum_{k=1}^{2n} \frac{1}{k}-\Bigsum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}=\Bigsum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} +\Bigsum_{k=n+1}^{2n} \frac{1}{k}-\Bigsum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}=\Bigsum_{k=n+1}^{2n} \frac{1}{k}$

Posté par re : calcul de limite 16-12-07 à 23:25

salut,

$u_{2n} = 1 + (1/2) +...+ (1/n)+...+(1/(2n)) \\$
$u_n = 1 + (1/2) +...+ (1/n)$

donc $u_{2n}-u_n = (1/(n+1))+...+(1/(2n))$

Posté par re : calcul de limite 16-12-07 à 23:25

Si (u_n) converge vers x alors la sous-suite (u_2n) converge aussi vers x donc u_2n-u_n tend vers 0.

Mais $3$\rm \Bigsum_{k=n+1}^{2n} \frac{1}{k}=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n}\ge \frac{1}{2n}+\frac{1}{2n}+...+\frac{1}{2n}=\frac{1}{2}$ Contradiction avec le fait que u_2n-u_n converge vers 0

On en déduit que u diverge.

Posté par re : calcul de limite 16-12-07 à 23:25

grillé par nightmare

Posté par re : calcul de limite 16-12-07 à 23:30

Salut romu L'essentiel est que nos solutions coincident

Posté par kamilia227 (invité)re : calcul de limite 16-12-07 à 23:35

Ah ok ,c'est vraie que c'est plus facile en exprimant les sommes je m'étais embrouillée...
je vous remercie :)

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