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calcul de limite

Posté par
ferenc 26-12-11 à 12:17

Bonjour,
soit f:\R\to\R définie par f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x^2\sin(\frac{1}{x})&si\ x\notin\Q\\0&si\ x\in\Q\end{array}

Je dois montrer que f continue en x_0=\frac{1}{\pi}, voilà comment j'ai fait, mais on me dis que c'est pas bon, pourquoi ?

Soit (a_n)_{n=0}^\infty\subset\R\backslach\Q:\lim_{n\to\infty}a_n=\frac{1}{\pi} et (b_n)_{n=0}^\infty\subset\Q:\lim_{n\to\infty}b_n=\frac{1}{\pi}.

On a que \lim_{n\to\infty}f(a_n)=0=f(\frac{1}{\pi})=\lim_{n\to\infty}b_n

Donc \forall (a_n)_{n=0}^\infty\subset \R:\lim_{n\to\infty}a_n=\frac{1}{\pi} on a \lim_{n\to\infty}f(a_n)=f(\frac{1}{\pi}) donc \lim_x\to\frac{1}{\pi}f(x)=f(\frac{1}{\pi})
Donc f continue en x_0

------
Peut être est-ce ma conclusion qui est fausse ?
merci

Posté par
ferencre : calcul de limite 26-12-11 à 12:17

erreur, (a_n)_{n=0}^\infty\subset \R\backslash \Q

Posté par
kaiser Moderateurre : calcul de limite 26-12-11 à 12:30

Bonjour ferenc

Le souci est que tu ne considères des suites qui ne sont faites que de rationnels ou que d'irrationnels mais pas des deux (il se trouve en fait, que dans ce cas, on en a pas besoin mais ton cours ne permet pas vraiment de l'affirmer). La continuité séquentielle impose de considérer toutes les suites réelles qui tends vers \dfrac{1}{\pi}.

Ceci dit, il me semble qu'il y a plus simple, sans passer par les suites.

Par contre, il y une faute de frappe (dans ta phrase "on a que", ça serait plutôt f(b_n) à la fin.

Kaiser

Posté par
Supernickre : calcul de limite 26-12-11 à 12:37

Tu prends (an) une suite qui tend vers 1/pi

Tu considères les 2 suites extraites (bn) et (cn) de (an) tel que (bn) est une suite de rationnels et (cn) est une suite d'irrationnels

Ensuite tu étudies les limites éventuelles de (f(bn)) et (f(cn)) et tu conclus !

Posté par
Mastergrubre : calcul de limite 26-12-11 à 12:37

Bonjour,

Tout d'abord, \lim_{n\to\infty} b_n = \frac{1}{\pi} \neq 0, tu voulait sans dout écrire \lim_{n\to\infty} f(b_n).
Ensuite il me semble que le fait qu'une fonction est une limite en a n'implique pas qu'elle soit continue en a.

Essaye une autre méthode peut-être...

Posté par
kybjmre : calcul de limite 26-12-11 à 12:37

Si tu veux montrer que f est continue en 1/ tu prend une suite QUELCONQUE u : telle que u 1/ et tu montres que f o u converge vers f(1/) .

Toi tu n'as considéré que quelques suites tendant vers 1/.
Tu as oublié les suites u où les 2  ensembles A et B suivants sont non vides : A = {n | u(n) } et B = {n | u(n) }

Posté par
ferencre : calcul de limite 26-12-11 à 13:22

Mastergrub en effet, mais si cette limite est f(a) alors elle est continue, et donc \lim_{n\to\infty}f(a_n)=f(\frac{1}{\pi}) implique \lim_{x\to\frac{1}{\pi}}f(x)=f(\frac{1}{\pi}) est donc qu'elle est continue en ce point.

Supernick Donc il faut prendre une suite (a_n)_{n=0}^\infty dans \R qui converge vers x_0 et considérer deux sous-suite (b_n)_{n=0}^\infty,(c_n)_{n=0}^\infty, l'une dans \Q et l'autre dans \R\backslash\Q qui existent et qui convergent aussi vers x_0 par le corollaire de Bolzano-Weierstrasse.

Mais qu'est-ce qui me dit que si \lim_{n\to\infty}f(b_n)=\lim_{n\to\infty}f(c_n)=\ell alors \lim_{n\to\infty}f(a_n)=\ell ?

merci

Posté par
Supernickre : calcul de limite 26-12-11 à 15:45

rien à voir avec bolzano

bn et cn sont les sous suites extraites de an tel que bn est rationnel pour tout n, cn est irrationnel pour tout n

(Par contre pour que ça fonctionne il faut que (an) comporte une infinité de termes rationnels et irrationnels donc tu as 3 cas à distinguer j'imagine si tu veux faire une démo dans le genre, un cas où ya un nombre fini de termes rationnels, un nombre fini de termes irra et un nombre infini des deux )


Bon on note C = {n € N tel que an € Q}
Et D = N\C

Supposons que C et D soient infinis, on note f et g les bijections strictement croissantes de N sur C et de N sur D

On note
b_n = a_{f(n)} \\ c_n = a_{g(n)}

On a bn et cn qui convergent vers 1/pi (suites extraites) et f(bn) et f(cn) qui convergent vers 0

Soit e > 0, il existe un entier N1>0 tel que pour n > N1, |f(bn)| <= e
Et un entier N2 > N1 tel que pour n > N2, |f(cn)| <= e

Alors pour n > N2, on a |f(an)| <= e (jte laisse le prouver)

Posté par
ferencre : calcul de limite 26-12-11 à 15:49

ok merci !!
c'est très clair
mais je ne comprend pas comment dans ta démonstration tu démontre les 3 cas que tu énumères au dessus !

Posté par
ferencre : calcul de limite 26-12-11 à 15:53

juste, pour |f(a_n)|<\epsilon, ça vient du fait que (a_n)_{n=0}^\infty=(b_n)_{n=0}^\infty\cup(c_n)_{n=0}^\infty ?

Posté par
Supernickre : calcul de limite 26-12-11 à 16:52

ben à partir d'un rang n y a que des rationnels, ou que des irrationnels et on s'en contre fout pour la limite des premiers termes

et oui ça vient du fait que an = bn U cn mais faut préciser un peu quand même!

Posté par
ferencre : calcul de limite 26-12-11 à 16:56

ok merci !

Posté par
kaiser Moderateurre : calcul de limite 26-12-11 à 17:05

Juste au cas où : comme précisé dans mon premier message, il me semble qu'il y a plus simple et plus rapide, sans passer par les suites.

Il suffit de remarquer que pour tout x, on a \large{|f(x)|\leq x^2\left|sin\left(\dfrac{1}{x}\right)\right|}

Ensuite, on applique le théorème des gendarmes.

Kaiser

Posté par
ferencre : calcul de limite 26-12-11 à 17:31

Que pensez vous alors de la rédaction suivante:
\frac{1}{\pi}\notin \Q donc f(\frac{1}{\pi})=\frac{1}{\pi}\sin\pi=0

\bullet Si x\notin \Q,x\neq \frac{1}{\pi}, |f(x)|=|x^2\sin(\frac{1}{x})|\leq x^2
\bullet Si x\in \Q,|f(x)|=0\leq x^2
Donc pour tout x\in\R,|f(x)-f(\frac{1}{\pi})|=|f(x)|\leq x^2
Soit \epsilon>0
\exists\delta>0:\forall x\in\R,|x|<\delta\Rightarrow |x^2|=x^2\leq\epsilon
Donc |f(x)-f(\frac{1}{\pi})|\leq\epsilon,\forall x\in\R:|x|<\delta
d'où \lim_{x\to\frac{1}{\pi}} f(x)=0=f(\frac{1}{\pi})

cela vous semble correct ?

Posté par
kaiser Moderateurre : calcul de limite 26-12-11 à 17:45

Trois remarques :

1) Il faut absolument garder le sinus car x ne tend par 0 mais vers \dfrac{1}{\pi} (donc on est relativement loin de 0)
2) Quand je disais d'utiliser le théorème des gendarmes, c'était celui des fonctions : tu dois t'intéresser à la limite de la fonction \large{x\mapsto x^2\left|sin\left(\dfrac{1}{x}\right)\right|}
3) Bref, pas besoin de \varepsilon

Kaiser

Posté par
ferencre : calcul de limite 26-12-11 à 18:01

très juste, c'est un étourderie, car à la question précédente, il fallait étudier la continuité en 0.

Du coup, ne serais-ce pas mieux de dire que \sin(\frac{1}{x})=\sin(\frac{1}{x}-\pi) et de dire que:
|f(x)|\leq x^2|\frac{1}{x}-\pi| ?

Posté par
kaiser Moderateurre : calcul de limite 26-12-11 à 18:07

C'est plutôt \sin(\frac{1}{x})=\sin(\pi-\frac{1}{x}), mais du coup, ça marche aussi.

Tu peux aussi dire que la fonction \large{x\mapsto x^2\left|sin\left(\dfrac{1}{x}\right)\right|} est clairement continue en tout x non nul et qu'elle vaut 0 en \frac{1}{\pi} donc sa limite en \frac{1}{\pi} vaut 0

Kaiser

Posté par
ferencre : calcul de limite 26-12-11 à 18:09

Merci beaucoup kaiser !!

Posté par
kaiser Moderateurre : calcul de limite 26-12-11 à 18:12

Mais je t'en prie !


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