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Calcul de limite

Posté par
matheux14 19-01-23 à 14:38

Bonsoir,

Merci d'avance.

Je résolvais un exercice de probabilité et à la fin, je me retrouve à devoir calculer \lim\limits_{n \to + \infty} \dfrac{1}{1 + 2 \left(\dfrac{n - 1}{n}\right)^{1 - n}}

Posté par
lionel52re : Calcul de limite 19-01-23 à 14:45

Hello, passe la puissance à l'exponentielle

Normalement tu tombes sur 1/(1 + 2e)

Posté par
matheux14re : Calcul de limite 19-01-23 à 15:35

\dfrac{1}{1 + 2 \left(\dfrac{n - 1}{n}\right)^{1 - n}} =  \dfrac{1}{1 + 2 e^{(1 - n)\ln\left(\frac{n - 1}{n}\right)}}

On a  (1 - n)\ln\left(\dfrac{n - 1}{n}\right)} = \ln\left(\dfrac{n - 1}{n}\right)} - n\ln\left(\dfrac{n - 1}{n}\right)}

\lim\limits_{n \to + \infty} \ln\left(\dfrac{n - 1}{n}\right)} = 0 car \dfrac{n - 1}{n} = 1 - \dfrac{1}{n} \Longrightarrow \lim\limits_{n \to + \infty} \dfrac{n - 1}{n} = 1 et \ln(1) = 0.

n \ln\left(\dfrac{n - 1}{n}\right) = \ln\left(1 - \dfrac{1}{n}\right)^n

Comment montrer que \lim\limits_{n \to + \infty} \left(1 - \dfrac{1}{n}\right)^n = e^{-1} ?

J'ai vu sur internet que \left(1 - \dfrac{1}{n}\right)^n = \dfrac{1}{\left(1 - \dfrac{1}{n - 1}\right)^{n - 1}} \times \dfrac{1}{\left(1 - \dfrac{1}{n - 1}\right)} \underset{n \longrightarrow + \infty}{\longrightarrow} \dfrac{1}{e} = e^{-1}

J'ai pas compris pourquoi..

Posté par
Ulmierere : Calcul de limite 19-01-23 à 16:27

Tu te compliques la vie pour rien, lionel52 te suggérait simplement de passer \left(\dfrac{n-1}{n}\right)^{1-n} au logarithme et d'utiliser le DL de x\mapsto \ln(1-x) en 0 (ou mieux, un équivalent!) pour en déduire que le (1-n)\ln(1-1/n) \sim \dfrac{n-1}{n} \sim 1.

Ensuite, continuité de l'exponentielle en 1 pour en déduire que \left(\dfrac{n-1}{n}\right)^{1-n} tend vers exp(1) = e, puis par continuité d'une certaine fonction rationnelle en e, que ton expression tend vers 1/(1+2e)

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Calcul de limite 19-01-23 à 17:35

Bonjour,
\lim\limits_{n \to + \infty} \left(1 - \dfrac{1}{n}\right)^n = e^{-1} peut se démontrer niveau terminale :
ln\left(1 - \dfrac{1}{n}\right)^n =n\times ln\left(1-\dfrac{1}{n} \right) = -\dfrac{ln\left(1-\dfrac{1}{n} \right)}{-\dfrac{1}{n}}
Puis nombre dérivé de ln en 1.

Posté par
Ulmierere : Calcul de limite 19-01-23 à 17:38

Tu peux aussi, si tu la connais, utiliser directement la règle de l'Hopital. Je sais pas si c'est encore au programme au lycée, cependant

Posté par
matheux14re : Calcul de limite 19-01-23 à 20:57

Citation :
ln\left(1 - \dfrac{1}{n}\right)^n =n\times ln\left(1-\dfrac{1}{n} \right) = -\dfrac{ln\left(1-\dfrac{1}{n} \right)}{-\dfrac{1}{n}}
Puis nombre dérivé de ln en 1.


J'ai pas compris...

Posté par
carpediemre : Calcul de limite 19-01-23 à 21:11

salut

ln\left(1 - \dfrac{1}{n}\right)^n =n\times ln\left(1-\dfrac{1}{n} \right) = -\dfrac{ln\left(1-\dfrac{1}{n} \right)}{-\dfrac{1}{n}} = \dfrac{\ln (1 - 0) - ln\left(1-\dfrac{1}{n} \right)}{0 -\dfrac{1}{n}}

Posté par
matheux14re : Calcul de limite 19-01-23 à 21:27

Du coup \lim\limits_{n \to + \infty} \left(1 - \dfrac{1}{n}\right)^n = e^{-1}  ?

Posté par
carpediemre : Calcul de limite 19-01-23 à 22:20

ne reconnais-tu pas le taux de variation d'une certaine fonction f à déterminer  :  [f(0) - f(1/n)][0 - 1/n]

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Calcul de limite 20-01-23 à 07:34

Bonjour,
@carpediem,
Je pensais en fait à cette forme : \dfrac{\ln\left(1-\dfrac{1}{n} \right)- \ln (1)}{ -\dfrac{1}{n}}
La fonction dont c'est le quotient des variations y est plus simple.

@matheux14,
Pourquoi ce derrière e-1 ?

Posté par
matheux14re : Calcul de limite 20-01-23 à 07:51

Je crois que j'ai vu.

Merci

Posté par
carpediemre : Calcul de limite 20-01-23 à 14:16

Sylvieg oui j'y ai pensé ... puis j'ai opté pour mon expressions à cause du moins devant le trait de fraction principal ...

l'important c'est que tous les chemins mènent au rhum ... sans trop abuser tout de même !!


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