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Calcul de limite

Posté par
Liliana27
22-04-24 à 09:00

Bonjour,

Je dois calculer une limite, mais je ne parviens pas à la calculer :

ln(1+x)1+x lorsque x tend vers -1.

J'ai pensé à poser la variable X=1+x
On obtient lnX* X  en 0

Posté par
malou Webmaster
re : Calcul de limite 22-04-24 à 09:27

Bonjour

oui, et ...\sqrt X=X^{\frac 1 2}

Posté par
Liliana27
re : Calcul de limite 22-04-24 à 09:33

Je peux donc déduire que la X^(1/2)ln(X) tend vers 0, en m'appuyant sur la limite :   lim(xlnx) = 0 en 0 ?

Posté par
candide2
re : Calcul de limite 22-04-24 à 09:40

Piste :

ln(1+x) = 2*( 1/2 * ln(1+x)) = 2.ln((1+x) )

... et on peut alors se ramener (avec changement de variable adéquat) à lim(X-->0+) 2.X.ln(X)

Posté par
candide2
re : Calcul de limite 22-04-24 à 09:43

Désolé pour le double emploi ...

Le site à des comportements étranges, certaines réponses n"apparaissent pas ... sauf au moment où on envoie sa propre réponse.

Ce n'est pas la première fois que cela arrive.

Posté par
Ulmiere
re : Calcul de limite 22-04-24 à 12:57

Tu peux aussi passer par un quotient si tu es plus à l'aise.

-\ln(1+x)\sqrt{1+x} = 2\dfrac{\ln\sqrt{\frac1{1+x}}}{\sqrt{\frac1{1+x}}}.
Ensuite il faut remarquer que 1/sqrt(1+x) est une quantité strictement supérieure à 1 et savoir prouver (très facile!) que 2ln(y)/y tend vers 0 en l'infini. Grâce à la proriété ln(a^b) = bln(a), c'est équivalent à montrer que ln(x) < x pour x assez grand, ce qui n'est vraiment pas difficile

Posté par
carpediem
re : Calcul de limite 22-04-24 à 14:02

salut

une autre : poser x = -1 + h avec h > 0 tendant vers 0

\ln (1 + x) \sqrt {1 + x} = \ln (\sqrt h ^2) \sqrt h = 2 \sqrt h \ln (\sqrt h)

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Calcul de limite 22-04-24 à 19:20

Bonsoir,
pourquoi ne pas poser directement h = \sqrt{1+x} ?

Posté par
carpediem
re : Calcul de limite 22-04-24 à 19:34

oui, comme l'a fait candide2



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