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Calcul de limite

Posté par
Rouliane 24-09-06 à 19:30

Bonsoir,

Une petite question sur un calcul de limite : si j'ai une intégrale à paramètres, je ne sais pas quelle thorème utiliser pour calculer par exemple :

4$ \fbox{\lim_{x\to +\infty} \int_0^{1} f(x,t) dt}

Existe-t-il un théorème pour pouvoir intervertir les symboles limite et intégrale, comme pour les suites de fonctions ?

Pour info, voici la limite que je dois calculer 3$ \lim_{x\to +\infty} \int_0^{1} \frac{e^{-(t^2+1)x^2}}{t^2+1} dt

Mais s'il vous plait ne me donnez pas la réponse

Merci,

Rouliane

Posté par
kaiser Moderateurre : Calcul de limite 24-09-06 à 19:36

Bonsoir Rouliane

Dans le cas général, on peut toujours passer par le théorème de convergence dominée en utilisant la caractérisation séquentielle de la limite (en considérant une suite quelconque tendant vers l'infini).
Mais il faut aussi savoir être pragmatique (parfois, l'utilisation de théorème est inutile et on peut faire autrement ).
Sinon, as-tu une intuition de la limite ?

Kaiser

Posté par
Roulianere : Calcul de limite 24-09-06 à 19:38

Bonsoir Kaiser,

Je ne connais pas le théorème de convergence dominée pour un calcul de limite
Sinon, j'imagine que la limite va etre 0 , et je pensais à peut-etre encadrer ma fonction, je vais essayer.

Posté par
kaiser Moderateurre : Calcul de limite 24-09-06 à 20:41

Tout d'abord, j'utilise la caractérisation séquentielle de la limite :
En posant \Large{F(x)=\bigint_{0}^{1}f(x,t)dt}, on a que \Large{\lim_{x\to +\infty}F(x)=0} si et seulement si pour tout suite de réels \Large{(x_{n})}tendant vers \Large{+\infty}, \Large{\lim_{n\to +\infty}F(x_{n})=0}.

En temps "normal", le théorème de convergence dominée dit la chose suivante :

Si \Large{(f_{n))} est une suite de fonctions définies et intégrables sur un intrevalle I qui convergence simplement vers une fonction f intégrable et s'il existe une fonction g positive et intégrable sur I telle tout n, \Large{|f_{n}|\leq g} alors :

\Large{\lim_{n\to +\infty} \bigint_{I}f_{n}=\bigint_{I}f}.

Pour pouvoir appliquer le théorème de convergence dominée il faut considérer une suite de réels \Large{(x_{n})}tendant vers \Large{+\infty} ainsi que la suite de fonctions \Large{(f_{n})} définies par \Large{f_{n}(t)=f(x_{n},t)} et là ça marche.
Toutefois, comme tu le préconisait, un encadrement paraît peut-être plus judicieux.

Kaiser

Posté par
jeansebre : Calcul de limite 24-09-06 à 21:26

Bonsoir Kaiser et Rouliane

J'ai une question à Kaiser: les énoncés du théorème de convergence dominée que j'ai lus précisent tous dans les hypothèses que les fn et leur limite f doivent être continues par morceaux.

Qu'en dis tu "pour ta part"?

Merci!

Posté par
jeansebre : Calcul de limite 24-09-06 à 21:27

De même pour la fonction dominante, d'ailleurs.

Posté par
kaiser Moderateurre : Calcul de limite 24-09-06 à 22:16

Effectivement, le "minimum syndical" concernant les hypothèses du théorème de convergence dominée imposent aux fonctions d'être continues par morceaux dans le cas de l'intégrale de Riemann.
Le même théorème existe pour le cas plus général de l'intégrale de Lebesgue où l'on impose aux différentes fonctions entrant en jeu d'être intégrables.

Kaiser

Posté par
Roulianere : Calcul de limite 25-09-06 à 16:53

Merci Kaiser .

Une autre petite question : qu'est ce qu'une fonction continûment dérivable ? Est-ce une fonction de classe C1 ?

Posté par
jeansebre : Calcul de limite 25-09-06 à 17:43

Une fonction continument dérivable est effectivement une fonction C1.

Posté par
Roulianere : Calcul de limite 25-09-06 à 18:19

Merci Jeanseb !
Content de te revoir, ça faisait un bail !

Ils peuvent pas parler de fonction C1 au lieu d'inventer des termes pareils

Posté par
jeansebre : Calcul de limite 25-09-06 à 19:26

Salut Rouliane! Ca va?

J'ai posé du plancher dans mon grenier, alors les maths sont passées un peu en retrait. Mais ça va chauffer à nouveau!

A + sur ce forum!

Posté par
Roulianere : Calcul de limite 25-09-06 à 19:32

Ca va bien merci, et toi ?
Hormis le fait que j'ai démissionné du boulot de prof, tout va bien

Je me doute que ça va chauffer à nouveau les maths, puis de toute façon, ça fait pas de mal de s'arreter un peu, c'est ce que je viens de faire depuis 3 semaines ...Faut savoir s'arreter de temps en temps pour mieux repartir

Posté par
jeansebre : Calcul de limite 25-09-06 à 19:34

pourquoi démissionné?

et tu prépares encore l'agrégation?

Posté par
kaiser Moderateurre : Calcul de limite 25-09-06 à 19:35

Bonsoir Rouliane et jeanseb

Citation :
Hormis le fait que j'ai démissionné du boulot de prof, tout va bien

Ah !
Pour l'agreg, je suppose ?

Kaiser

Posté par
Roulianere : Calcul de limite 25-09-06 à 19:40

Oui, je prépare encore l'agrégation.

J'ai démissionné parce que j'ai remarqué petit à petit que ce boulot ne m'interessait pas, donc je préfère arreter maintenant que trop tard.
Mais je vais quand même préparer l'agreg , comme "défi" si on peut dire.

reste à trouver un nouveau taf

Enfin bref, pour revenir au sujet du topic, j'ai une petite question : si on définie une fonction 3$F(x)=\int_0^{+\infty} \frac{e^{-t^2x}}{1+t^2} dt , comment justifier de la dérivabilité en 0 de cette fonction ?
faut il revenir à la définition ?
j'ai déjà montré que cette fonction était C1 sur R+*.

Je voudrais juste un indice svp, c'est un devoir du CNED, merci

Posté par
kaiser Moderateurre : Calcul de limite 25-09-06 à 19:52

Pour la dérivabilité en 0, vu ton message, je suppose que tu as remarqué que l'application des théorèmes de dérivation sous le signe intégrale ne fonctionne plus.
IL faut donc procéder autrement.
Repasser par la définition peut-être une idée.
Je ne sais pas ce que ça vaut mais on peut essayer de transformer l'intégrale pour la rendre plus sympathique et pouvoir appliquer un théorème.
J'espère que cela t'aidera.

Kaiser

Posté par
Roulianere : Calcul de limite 25-09-06 à 20:10

Merci Kaiser, je vais réfléchir à ça

Posté par
kaiser Moderateurre : Calcul de limite 25-09-06 à 20:18

Posté par
jeansebre : Calcul de limite 25-09-06 à 21:24

Sur ce problème de F:

- sur R*+, vous utilisez le théorème de dérivation sous le signe intégrale. Mon bouquin intègre sur [a,b], mais vous me confirmerez peut-être que ça marche sur un intervalle infini

-toujours sur R*+, vous majorez |df/dx| par une fonction intégrable indépendante de x. Laquelle prenez-vous? Moi, il me semble correct de démontrer la "C1-itude" sur tout compact de R*+, donc sur R*+, en majorant sur [a,b] par exp [-(a/2)t 2]. Qu'en pensez-vous?


Merci!

Posté par
Roulianere : Calcul de limite 25-09-06 à 22:05

Sur R+*, tu peux écrire, pour tout x dans [a, +oo[ ( a>0 ) que 3$|\frac{df}{dx}|\le\frac{e^{-at^2}}{1+t^2} qui est indépendante de x et intégrable sur [0, +oo[

Posté par
jeansebre : Calcul de limite 26-09-06 à 14:30

En fait je ne suis pas sur que ta majoration soit correcte.

df/dx = - t2 exp [- x t2] ]/(1+t2)

|-t2/(1+t2)|< 1

donc |df/dx|<    . 1 si t[0,1]
                 . exp(-a t2) sinon

mais je ne crois pas que ta majoration soit correcte pour t>1

Non?

P.S: Comment va ta main coupée?

Posté par
Roulianere : Calcul de limite 26-09-06 à 14:56

J'ai oublié le t^2 dans l'expression.

je reprends, on a donc :

\forall t \in [0, +\infty[
\forall x \in [a, +\infty[  3$|\frac{df}{dx}|\le \frac{t^2(e^{-t^2a})}{1+t^2}
(a >0)

Je ne vois pas le problème pour la majoration, je majore uniquement l'exponentielle pour ne plus avoir de x. ( je "laisse" le reste tel quel)
On voit bien que le seul moyen de ne plus avoir de x ici, c'est soit de majorer l'exponentielle par 1, la fonction qui reste n'est alors plus intégrable sur [0,+oo[. Soit de majorer l'exponentielle sur l'intervalle [a, +\infty[, et alors ça marche.
La fonction t --> \frac{t^2(e^{-t^2a})}{1+t^2} est bien intégrable sur [0,+oo[.

ps : pas capté le coup de ma main

Posté par
jeansebre : Calcul de limite 26-09-06 à 15:22

- OK, si tu laisses t2. Mais il était absent de ton précédent post, d'où ma question.
- As tu traité la C-itude en 0?

- La main, c'est celle que tu as mise à couper sur un autre topic...

Posté par
jeansebre : Calcul de limite 26-09-06 à 15:24

-

Citation :
As tu traité la C-itude en 0?


doit être compris comme:

As tu traité la DERIVABILITE en 0?

Posté par
Roulianere : Calcul de limite 26-09-06 à 15:46

Je ne vois pas ce que ça change qu'il y ait le t^2 ou pas.

Soit x \ge a , alors -x \le -a , et alors -xt^2 \le -at^2, d'où  \fbox{e^{-xt^2} \le e^{-at^2}},

Ensuite, on peut multiplier de chaque coté de l'inégalité par \frac{1}{1+t^2} ou \frac{t^2}{1+t^2}, je ne vois pas ce que ça change ? ( ces 2 termes sont positifs )

Sinon, je n'ai pas réussi la dérivabilité à droite

Posté par
jeansebre : Calcul de limite 26-09-06 à 16:14

Dans ton post de 22 05, tu multiplies à gauche par t2/(1+t2) pour obtenir le df/dx , et à droite par 1/(1+t2)

me semble-t-il.

C'est celà qui m'a semblé incorrect.

Non?

Posté par
Roulianere : Calcul de limite 26-09-06 à 16:17

C'était juste un oubli ( le t²)

Je ne comprenais pas que le problème venait de ce post là, donc forcement on tournait un peu en rond

Posté par
jeansebre : Calcul de limite 26-09-06 à 16:19

Noproblème!

Posté par
kaiser Moderateurre : Calcul de limite 09-10-06 à 23:30

Bonsoir (ce topic commence à dater un peu )

Rouliane> as-réglé ton problème sur la dérivabilité en 0 de la fonction définie dans ton message posté le 25/09/2006 à 19:40 ? cela me semble un exo intéressant et je me suis donc un peu penché dessus.

Kaiser

Posté par
Roulianere : Calcul de limite 09-10-06 à 23:39

Non, je n'ai aucune idée de comment faire, je l'ai laissée de coté, ayant cherché en vain.

Je veux bien quelques pistes de réflexions si tu t'es penché dessus

Merci

Posté par
kaiser Moderateurre : Calcul de limite 09-10-06 à 23:44

En fait, on aimerait bien appliquer le théorème de dérivation sous le signe intégrale mais lorsque l'on fait, 0 est un problème car on ne peut pas majorer par une fonction intégrable.
L'idée est alors de rendre le dénominateur un peu plus "costaud" en l'infini, si tu vois ce que je veux dire.
Vois-tu un moyen pour y parvenir ?

Kaiser

Posté par
Roulianere : Calcul de limite 09-10-06 à 23:49

Il faut minorer par un truc plus costaud ?
parce que de toute façon, dans la majoration ( pour l'hypothèse de domination ) l'exponentielle sera majorée par 1, on aura pas le choix ...

Posté par
kaiser Moderateurre : Calcul de limite 09-10-06 à 23:54

En fait, quand je disais rendre le dénominateur plus "costaud" je ne parlais pas de minoration mais je sous-entendais que ça serait sympa que la puissance de t qui y apparaît sois plus grande.
Il y a une opération qui permet de faire ça.
(désolé si je reste assez vague )

Kaiser

Posté par
Roulianere : Calcul de limite 10-10-06 à 00:06

l'idée c'est bien d'avoir une puissance plus grande toujours en vue de la majoration ?

Posté par
kaiser Moderateurre : Calcul de limite 10-10-06 à 00:07

oui.

Posté par
Roulianere : Calcul de limite 10-10-06 à 00:09

Un changement de variable peut-etre ?

Posté par
Roulianere : Calcul de limite 10-10-06 à 00:09

Une IPP plutot, non ?

Posté par
kaiser Moderateurre : Calcul de limite 10-10-06 à 00:10

Je n'ai pas essayé mais je pensais à autre chose.

Posté par
kaiser Moderateurre : Calcul de limite 10-10-06 à 00:11

Bingo !!!

Posté par
Roulianere : Calcul de limite 10-10-06 à 00:13

ok, merci !

je vais essayer de faire ça, merci en tout cas de t'etre replongé dans mon problème, c'est sympa

sur ce, güte nacht, Kaiser

Posté par
kaiser Moderateurre : Calcul de limite 10-10-06 à 00:16

Bonne nuit à toi aussi !

Posté par
Roulianere : Calcul de limite 10-10-06 à 00:17

pas facile l'IPP, le seul moyen d'élever la puissance au dénominateur est de dériver 1/(1+t2) et d'intégrer l'exponentielle, mais ça a l'air difficile, j'y réfléchirais demain

Posté par
Roulianere : Calcul de limite 10-10-06 à 00:17

merci  

Posté par
kaiser Moderateurre : Calcul de limite 10-10-06 à 00:18

Mais je t'en prie !
Je repasserai demain !

Posté par
Roulianere : Calcul de limite 10-10-06 à 00:19

Posté par
kaiser Moderateurre : Calcul de limite 10-10-06 à 19:53

Bonsoir Rouliane

Désolé, mais je crois que je t'ai donné une fausse piste (un x m'avait échappé).
Je ne suis donc pas arrivé à montrer la dérivabilité en 0, pour la simple et bonne raison qu'elle ne l'est pas. Normalement, j'ai trouvé comment démontrer ça (j'espère que ce que j'ai fait n'est pas faux ).

Kaiser

Posté par
kaiser Moderateurre : Calcul de limite 16-10-06 à 23:20

Posté par
Roulianere : Calcul de limite 16-10-06 à 23:29

Ah merci, j'avais pas vu que tu avais remonté ce post.

J'ai donc cherché en vain à faire une IPP mais j'ai vite laché de toute façon

Posté par
kaiser Moderateurre : Calcul de limite 16-10-06 à 23:34

OK !
En fait, il suffit de calculer le taux d'accroissement et de montrer qu'il ne tend pas vers une limite finie (en fait, sauf erreurs, il tend même vers \Large{-\infty} ).

Kaiser

Posté par
Roulianere : Calcul de limite 16-10-06 à 23:35

Ah merci, je vais faire ça !

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