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Calcul de limite avec IPE

Posté par
Proxyness 27-07-18 à 11:30

Hello!!

Voilà alors je dois calculer cette limite:

\lim_{x\to 0} \frac{sin(2x)-2x}{x^3}
Comme j'ai des fonctions trigo et que je suis au voisinage de zéro j'utilise les IPE
\lim_{x\to 0} \frac{2sinxcosx-2x}{x^3}=\lim_{x\to 0} \frac{2cox -2}{x^2}=\lim_{x\to 0} \frac{-2(1-cos x )}{x^2}=-1
Sauf que c'est faux (la réponse est -4/3) et je ne trouve pas où est l'erreur. Si quelqu'un voit ce qui est faux, merci d'avance!!

Kelly

Posté par
mousse42re : Calcul de limite avec IPE 27-07-18 à 11:40

Bonjour,

C'est ça veut dire quoi "IPE"?

Posté par
mousse42re : Calcul de limite avec IPE 27-07-18 à 11:41

Avec un DL c'est presque  immédiat.

Posté par
Proxynessre : Calcul de limite avec IPE 27-07-18 à 11:46

Hello, ah c'est peut être un terme suisse, ça veut dire infiniment petit et équivalents , mais en gros c'est les DL oui ^^

Posté par
SkyMtnre : Calcul de limite avec IPE 27-07-18 à 11:47

Bonjour. Je ne sais pas ce que veut dire "IPE", mais ça ressemble à l'Hôpital ...

\lim_{x\to 0} \dfrac{\sin(2x)-2x}{x^3} = \lim_{x\to 0} \dfrac{2\cos(2x)-2}{3x^2} = \lim_{x\to 0} \dfrac{-4\sin(2x)}{6x} = \lim_{x\to 0} \dfrac{-8\cos(2x)}{6} = - \dfrac{4}{3}

Posté par
mousse42re : Calcul de limite avec IPE 27-07-18 à 11:51

un DL ça veut dire développement limité

Par exemple \sin 2x au voisinage de 0 donne 2x-\dfrac{4}{3}x^3+o(x^3)

Posté par
Proxynessre : Calcul de limite avec IPE 27-07-18 à 11:54

Les IPE c'est juste les premiers termes des DL :
sin x ~x
cos x -1 ~ x^2/2  (et comme ça donnait un résultat propre, j'ai pensé que c'était juste ^^')

@mousse42 comme tu dis qu'avec un seul DL c'est presque immédiat, j'ai testé de faire avec un seul DL, est ce que c'est correct de prendre  
sin 2x = 2x - (2x)^3/3! ? (désolée j'ai encore un peu de mal avec les DL plus complexes)

Posté par
Proxynessre : Calcul de limite avec IPE 27-07-18 à 11:57

Oups désolée j'avais pas vu ta réponse!! Du coup, je comprends pas comment tu as trouvé (-4)x^3, j'obtiens 8 dans mon cas.

Posté par
mousse42re : Calcul de limite avec IPE 27-07-18 à 12:00

tu devrais refaire ton calcul.

Posté par
Proxynessre : Calcul de limite avec IPE 27-07-18 à 12:07

C'est bon, je l'ai trouvé. Je pensais qu'on pouvait tout simplement remplacer x par 2x dans la formule finale, je vois que non. Merci beaucoup!!

Posté par
jsvdbre : Calcul de limite avec IPE 27-07-18 à 12:11

Bonjour Proxyness.

Proxyness @ 27-07-2018 à 11:54

j'ai encore un peu de mal avec les DL plus complexes

Alors exercice complémentaire :

Calculer la limite de \dfrac{\sin(2x)-2x+\frac{4}{3}x^3}{x^5} en 0.

et salutations à mousse42.

Posté par
luzakre : Calcul de limite avec IPE 27-07-18 à 12:35

Citation :

Comme j'ai des fonctions trigo et que je suis au voisinage de zéro j'utilise les IPE
\lim_{x\to 0} \dfrac{2\sin x\,\cos x-2x}{x^3}=\lim_{x\to 0} \dfrac{2\cos x -2}{x^2}=\lim_{x\to 0} \dfrac{-2(1-\cos x )}{x^2}=-1

Il me semble que tu as remplacé \sin x par son équivalent x, ce qui est une faute grossière : on ne doit pas faire des sommes d'équivalents.

Posté par
mousse42re : Calcul de limite avec IPE 27-07-18 à 12:39

Proxyness @ 27-07-2018 à 12:07

C'est bon, je l'ai trouvé. Je pensais qu'on pouvait tout simplement remplacer x par 2x dans la formule finale, je vois que non. Merci beaucoup!!


Attention, "on ne remplace pas simplement", tu devrais jeter un oeil sur la composition des développements limités.

Ainsi au voisinage de 0, on a \sin u = u-\dfrac{u^3}{3!}+o(u^3)

Donc la composée de  x\to 2x par le DL est possible si la fonction x\to 2x vérifie quelque chose ... (je te laisse chercher dans ton cours)

Et je salue jsvdb au passage

Posté par
Proxynessre : Calcul de limite avec IPE 27-07-18 à 13:19

@SkyMtn désolée j'ai oublié de te répondre. Merci. Ce n'était pas l'hopital, j'essaye toujours d'autres manières avant car je trouve l'hopital fastidieux dans un cas comme celui-ci par exemple. Trop d'opportunités de faire des petites erreurs de calcul =$ Mais merci quand même ^^ Je saurais que ça fonctionne bien au cas où ^^

@jsvdb Alors le DL de sin 2x au vg de 0, d'ordre 5 est: 2x - \frac{4}{3}x^3 + \frac{4}{15}x^5 donc \lim_{x\to 0}\dfrac{\sin(2x)-2x+\frac{4}{3}x^3}{x^5} =4/15?

@luzak Merci beaucoup! J'avais oublié ce détail!

@mousse42 Il faut que la fonction composée soit dérivable, continue et dans le même voisinage (ou alors il faut faire un changement de variable), c'est ça ou est ce que tu penses à autre chose ?

Posté par
jsvdbre : Calcul de limite avec IPE 27-07-18 à 13:43

Proxyness @ 27-07-2018 à 13:19

Il faut que la fonction composée soit dérivable, continue et dans le même voisinage (ou alors il faut faire un changement de variable), c'est ça ou est ce que tu penses à autre chose ?

Le caractère C^n des fonctions que l'on passe en DL doit effectivement être acquis, c'est évident, même si on peut nuancer ... mais ce n'est pas le débat ici.

Si f admet un dl en 0, alors f\circ g en admettra un en x_0 si g tend vers 0 en ce point x_0.

Ainsi, comme sin admet un dl en 0, comme 2x tend vers 0 en 0, alors sin(2x) admet bien un DL en 0 obtenu en composant les DL (bon, ici, ce n'est pas compliqué de composer ... mais attention tout de même en "remplaçant bêtement" quand on additionnera)

\sin(2x) - 2x aura comme équivalent 2x - 4/3 x^3 - 2x = - 4/3 x^3 : attention à ne pas laisser de "partie nulle" (même si l'on peut être équivalent à la fonction nulle, mais cela requiert d'utiliser une bonne définition)

Posté par
Proxynessre : Calcul de limite avec IPE 27-08-18 à 12:45

Hello, désolée de la réponse tardive, quelques soucis familiaux!
Je vois! Je pensais un peu à ça mais de manière beaucoup plus floue. Merci beaucoup !! Je comprends bien mieux maintenant !!


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