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calcul de limites
Bonjour,comment je peux calculer cette limite:
lim(n→+∞) 1/n x (((2n)!)/n!)^(1/n)
Que vaut pour tout N ?
Passe ton expression au logarithme et essaie de faire apparaitre une expression de la forme , avec f intégrable au sens de Riemann sur [0,1]
Autre piste, moins glorieuse.
Une première étape, c'est d'essayer de calculer 'manuellement' cette limite.
(2n)!/n! ... c'est le produit des n nombres entre n+1 et 2n
((2n)!/n!)^(1/n) ... c'est la moyenne géométrique de ces n nombres entre n+1 et 2n, c'est donc un nombre entre n+1 et 2n.
Et donc, tout ça divisé par n, c'est un nombre entre 1 et 2... et plus précisément entre racine(2) et 1.5
On n'est pas très avancé, mais on a un ordre de grandeur.
Le deuxième égal est faux et tout ce qui suit aussi.
Il n'y a pas besoin de Stirling, c'est juste un changement de variable
C'est le bon résultat mais ça demande de connaître la formule de Stirling, et de plus tu majoraes sans en dire mot par
et tu le minores également par
. Si tu veux utiliser un encadrement, il faut toujours le justifier sinon t'auras pas les points.
En l'occurence la méthode que je te proposais me semble plus élémentaire et moins piégeuse
Ensuite, tu divises par n (qui vient de la puissance 1/n), tu rajoutes le qui vient du facteur 1/n devant et tu obtiens directement une somme de Riemann qui ne nécessite aucune autre connaissance qu'une primitive de ln, qui donne la limite 2ln(2)-2-(ln(1)-1) = 2ln(2)-1 = ln(4/e)
et il ne reste plus qu'à utiliser la continuité de l'exponentielle pour conclure.
L'autre avantage, c'est que ça permet de pousser le DL plus loin au besoin, contrairement à Stirling qui devient indigeste aux ordres supérieurs
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