Niveau Licence Maths 1e ann

Calcul de limites

Posté par
Hysedd 20-01-22 à 22:48

Bonjour, j'ai étrangement du mal à résoudre rigoureusement cet exemple de cours.

Énoncé : Prouver que si $u_n \rightarrow 0$ et que $u_n\sim v_n$ , alors $u_n-v_n\rightarrow 0$ [sachant que $u_n\sim v_n \Leftrightarrow \lim_{n\rightarrow + \infty} \frac{u_n}{v_n} = 1$ ]

Comment je le résous :
$\lim \frac{u_n}{v_n} = \frac{\lim u_n}{\lim v_n}$ si $\lim v_n \neq 0$
$\frac{\lim u_n}{\lim v_n}=1 \Leftrightarrow \lim u_n = \lim v_n \Leftrightarrow \lim u_n - \lim v_n = 0 \Leftrightarrow \lim u_n-v_n=0$

Mais cela me semble très peu rigoureux (et je ne suis pas sûr non plus de l'exactitude de la solution) , comment le rédiger pour que ce soit plus rigoureux ?
Merci de votre aide

Posté par re : Calcul de limites 20-01-22 à 22:56

Bonjour
si $u_n \to 0$ et $u_n\sim v_n$ , à ton avis quelle sera la limite de $v_n$ ?

Posté par re : Calcul de limites 21-01-22 à 12:27

$u_n=v_n+o(v_n)$ donc .........

Posté par re : Calcul de limites 21-01-22 à 18:22

salut

Hysedd @ 20-01-2022 à 22:48

$\lim \dfrac{u_n}{v_n} = \dfrac{\lim u_n}{\lim v_n}$ si $\lim v_n \neq 0$

et si $lim v_n \ne 0$ ?

et si on prend $u_n = v_n$ (et on a bien évidemment $u_n \sim u_n$ ) ?

il suffit de revenir à la définition

$u_n\sim v_n \iff \lim_{n\to + \infty} \dfrac{u_n}{v_n} = 1 \iff \dfrac {u_n} {v_n} = 1 + \epsilon \iff u_n = (1 + \epsilon)v_n \iff ...$ pour n suffisamment grand ...

mais on sait aussi que $u_n \sim v_n \iff v_n \sim u_n$ donc ...

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