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Calcul de limites

Posté par
olidbr
22-10-23 à 12:30

Bonjour,

Je suis en année de passerelle pour integrer une école d'ingénieur à la rentrée prochaine.

Au programme, nous avons de l'analyse, qui est une matière que je trouve assez difficile... Et nous avons un DM à réaliser sur lequel je bloque à certains endroits, notamment une partie sur les limites de fonction.


Voici l'énoncé:

Calculez les limites suivantes (en argumentant correctement) :

(suite de l'énoncé dans image jointe)

Voici mes recherches:

2.1 : Il nous est donné que x-1 < E(x) <= x

Donc (x-1)ln(x)/x2 < E(x)ln(x)/x2 <= xln(x)/x2

Je determine donc les limites de (x-1)ln(x)/x2 et de xln(x)/x2 :

- lim x->+infini (x-1)ln(x)/x2 = lim x->+infini xln(x)/x2 - ln(x)/x2 = 0

- lim x->+infini xln(x)/x2 = 0+

Donc d'après le théorème des gendarmes : lim x->+infini E(x)ln(x)/x2 = 0+

Le raisonnement est il correct ?

Pour les autres (2.2, 2.3, 2.4) je suis bloquée...

Pourriez-vous m'orienter ?

En vous remerciant.

Calcul de limites

Posté par
Ulmiere
re : Calcul de limites 22-10-23 à 13:46

Oui pour 2.1, bien qu'inutilement compliqué.

Pour 2.2 et plus généralement quand tu as des fonctions puissance, prends le logarithme et regarde vers quoi ça tend. Si la (pseudo-)limite du log est L alors la fonction originelle tend vers exp(L)

Pour 2.3, c'est le contraire, prends l'exponentielle et regarde vers quoi ça tend. Si ça tend vers L, alors la fonction originelle tend vers log(L).

Pour 2.4, c'est encore plus simple, mais fais d'abord les deux autres

Posté par
olidbr
re : Calcul de limites 22-10-23 à 14:05

Merci pour votre réponse.

Pour la 2.2 j'ai donc fais : lim x->+ infini e(cosx/Vx)*ln(1/x)

Je cherche donc la limite de (cosx/Vx) = 0 et limite de ln(1/x)=-infini ce qui donne lim (cosx/Vx)*ln(1/x) = 0

Donc lim x->+ infini e(cosx/Vx)*ln(1/x) = e0 = 1

Je ne sais pas si c'est ça

Pour la 2.3 j'ai déjà linéarisé shx ce qui donne :

lim x->+ infini ln ((2ex+2x2)/(ex-e-x))

Donc si j'ai bien compris je dois chercher la limite de e((2ex+2x2)/(ex-e-x)) = L
pour ensuite chercher la limite de ln(L)

Et là je bloque...

Posté par
carpediem
re : Calcul de limites 22-10-23 à 14:07

salut

pour 2.3 on peut aussi remplacer sh x par son expression en fonction de l'exponentielle et factoriser numérateur et dénominateur par ... (comme pour les polynomes)

Posté par
olidbr
re : Calcul de limites 22-10-23 à 14:20

Comme vous dites, j'ai déjà remplacé shx par son expression ce qui donne :

lim x->+ infini ln ((2ex+2x2)/(ex-e-x))

Mais là je ne comprend pas continuer

Posté par
Ulmiere
re : Calcul de limites 22-10-23 à 14:34

Pour le 2.2 c'est faux. 0 \times \infty est une forme indéterminée !

Comme je te le disais il faut d'abord calculer proprement ln \circ f.

\ln(f(x)) = \dfrac{\cos(x)}{\sqrt{x}} \times \ln(1/x) = -\dfrac{\cos(x)\ln(x)}{\sqrt{x}}.

Et c'est seulement là, que tu dis que le log est dominé par n'importe quelle puissance de x (croissances comparées), donc que \ln(x)/\sqrt{x} tend vers 0, donc que \ln(f(x)) tend vers 0, puisque \cos est bornée. Et donc que f(x) tend vers \exp(0) = 1.

Pour 2.3 il faut continuer el calcul et mettre le dominant (qui est ???) en facteur au numérateur et au dénominateur.

Sinon, une autre piste est de faire un changement de variable.
Tu poses y = \ln(x) et tu dis que f(x) = g(y), où g est une fonction que je te laisse écrire. L'intérêt c'est que x tend vers l'infini si et seulement si y tend vers l'infini, et dans g(y) il n'y aura plus du tout d'exponentielle. Seulement un log qui traine au numérateur, sans importance.

Posté par
Ulmiere
re : Calcul de limites 22-10-23 à 14:36

Erratum, c'est bien-sûr y = e^x que je voulais dire. Ou, ce qui est équivalent, x = \ln(y)

Posté par
olidbr
re : Calcul de limites 22-10-23 à 15:30

Merci pour la réponse.

J'ai bien compris mon erreur pour la 2.2.

Pour la 2.3 j'ai donc mis en facteur ex  :

ln (ex(2+(2x2/ex)/ex(1-(e-x/ex))

Avec lim (2+(2x2/ex) = 2

Et lim (1-(e-x/ex)) = 1

Donc lim ln (ex(2+(2x2/ex)/ex(1-(e-x/ex)) = ln (2ex/ex) = ln (2) = 0,69

Est ce bien cela ?

Posté par
olidbr
re : Calcul de limites 22-10-23 à 15:53

Et pour la 2.4 je tombe sur des formes indéterminées à chaque fois...

Posté par
Ulmiere
re : Calcul de limites 22-10-23 à 16:10

Oui pour 2.3, mais le = 0.69 est de trop. On n'est pas en cours de physique pour écrire des égalités fausses

Pour 2.4, c'est encore des croissances comparées. exp(x) domine n'importe quelle puissance de x et les puissances de x dominent toutes log(x)

Posté par
olidbr
re : Calcul de limites 22-10-23 à 16:18

Effectivement pour la 2.3...

Seulement, pour la 2.4 il est écrit dans le dm que : "On veillera ici à fournir une demonstration parfaitement rigoureuse. Toute mention type « l'exponentielle l'emporte toujours » est a pros- crire."

C'est ça qui me bloque 😅

Posté par
Ulmiere
re : Calcul de limites 22-10-23 à 19:49

Ah ben c'est pas de bol, on a utilisé cette propriété pour les trois premières
C'est juste pour la 2.4 que tu n'as pas le droit ?


On va éviter de démontrer le théorème de croissances comparées pour répondre à la question et la traiter directement.

1) Montrer (très facile) si besoin que ln(y)< y pour y > 0 assez petit.
2) Faire le changement de variable y = 1/x et comme au 2.3 étudier la limite en 0^+ de g(y) où g est telle que f(x) = g(y)



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