Oui pour 2.1, bien qu'inutilement compliqué.

Pour 2.2 et plus généralement quand tu as des fonctions puissance, prends le logarithme et regarde vers quoi ça tend. Si la (pseudo-)limite du log est L alors la fonction originelle tend vers exp(L)

Pour 2.3, c'est le contraire, prends l'exponentielle et regarde vers quoi ça tend. Si ça tend vers L, alors la fonction originelle tend vers log(L).

Pour 2.4, c'est encore plus simple, mais fais d'abord les deux autres

Merci pour votre réponse.

Pour la 2.2 j'ai donc fais : lim x->+ infini e^{(cosx/Vx)*ln(1/x)}

Je cherche donc la limite de (cosx/Vx) = 0 et limite de ln(1/x)=-infini ce qui donne lim (cosx/Vx)*ln(1/x) = 0

Donc lim x->+ infini e^{(cosx/Vx)*ln(1/x)} = e⁰ = 1

Je ne sais pas si c'est ça

Pour la 2.3 j'ai déjà linéarisé shx ce qui donne :

lim x->+ infini ln ((2e^x+2x²)/(e^x-e^-x))

Donc si j'ai bien compris je dois chercher la limite de e((2e^x+2x²)/(e^x-e^-x)) = L
pour ensuite chercher la limite de ln(L)

Et là je bloque...

salut

pour 2.3 on peut aussi remplacer sh x par son expression en fonction de l'exponentielle et factoriser numérateur et dénominateur par ... (comme pour les polynomes)

Comme vous dites, j'ai déjà remplacé shx par son expression ce qui donne :

lim x->+ infini ln ((2e^x+2x²)/(e^x-e^-x))

Mais là je ne comprend pas continuer

Pour le 2.2 c'est faux. est une forme indéterminée !

Comme je te le disais il faut d'abord calculer proprement .

.

Et c'est seulement là, que tu dis que le log est dominé par n'importe quelle puissance de x (croissances comparées), donc que tend vers 0, donc que tend vers 0, puisque est bornée. Et donc que .

Pour 2.3 il faut continuer el calcul et mettre le dominant (qui est ???) en facteur au numérateur et au dénominateur.

Sinon, une autre piste est de faire un changement de variable.
Tu poses et tu dis que f(x) = g(y), où g est une fonction que je te laisse écrire. L'intérêt c'est que x tend vers l'infini si et seulement si y tend vers l'infini, et dans g(y) il n'y aura plus du tout d'exponentielle. Seulement un log qui traine au numérateur, sans importance.

Erratum, c'est bien-sûr que je voulais dire. Ou, ce qui est équivalent,

Merci pour la réponse.

J'ai bien compris mon erreur pour la 2.2.

Pour la 2.3 j'ai donc mis en facteur e^x  :

ln (e^x(2+(2x²/e^x)/e^x(1-(e^-x/e^x))

Avec lim (2+(2x²/e^x) = 2

Et lim (1-(e^-x/e^x)) = 1

Donc lim ln (e^x(2+(2x²/e^x)/e^x(1-(e^-x/e^x)) = ln (2e^x/e^x) = ln (2) = 0,69

Est ce bien cela ?

Et pour la 2.4 je tombe sur des formes indéterminées à chaque fois...

Oui pour 2.3, mais le = 0.69 est de trop. On n'est pas en cours de physique pour écrire des égalités fausses

Pour 2.4, c'est encore des croissances comparées. exp(x) domine n'importe quelle puissance de x et les puissances de x dominent toutes log(x)

Effectivement pour la 2.3...

Seulement, pour la 2.4 il est écrit dans le dm que : "On veillera ici à fournir une demonstration parfaitement rigoureuse. Toute mention type « l'exponentielle l'emporte toujours » est a pros- crire."

C'est ça qui me bloque 😅

Ah ben c'est pas de bol, on a utilisé cette propriété pour les trois premières
C'est juste pour la 2.4 que tu n'as pas le droit ?


On va éviter de démontrer le théorème de croissances comparées pour répondre à la question et la traiter directement.

1) Montrer (très facile) si besoin que ln(y)< y pour y > 0 assez petit.
2) Faire le changement de variable y = 1/x et comme au 2.3 étudier la limite en de g(y) où g est telle que f(x) = g(y)