Si c'est juste la calculer, voilà une primitive de ta fonction :

(2x²+3x-1)/(3x+1)³

@+

(-6x²-14x+12) = -(2/3)(3x+1)²-(10/3)(3x+1)+16






Sauf distraction.  

juste un petit détail david71 à propos de ce que tu as écris "(...)la primitive de...)", je tenais simplement à signaler qu'il existe une infinité de primitives, puisqu'en calculant l'intégrale on obtient à la fin une constante qui varie dans R, comme l'a si bien montré J-P..donc il vaudrait mieux dire "calculer UNE primitive" au lieu de "calculer LA primitive"...
un petit détail à ne pas négliger quand même..
bonne journée à tous

Oui signeloubna, de plus, je me suis déjà fait faire une "réprimande véhémente " avec ce genre de problème dans le cas paticulier ou le domaine de définition de la fonction n'est pas connexe.

Le C indique bien qu'il y a une infinité de primitives qui conviennent (puisque C est une constante quelconque, mais pour une primitive donnée, C doit être le même sur tout le domaine de définition de la fonction).

Et donc très souvent, on peut dire que "sans le C" on donne une primitive  et que "avec le C" on les donne toutes.
Mais ce n'est pas vrai dans le cas particulier de l'exercice, puisque la fonction n'est pas définie en x = -1/3 et donc rien n'empêche de choisir une valeur de C dans ]-oo ; -1/3[ et une autre valeur de C dans ]-1/3 ; oo[

Conclusion, ici, en donnant les primitives par (2x²+3x-1)/(3x+1)³ + C, on ne donne pas toutes les primitives possibles.

Il existe aussi des primitives de la forme: (2x²+3x-1)/(3x+1)³ + g(x)
avec g(x) = C1 dans ]-oo ; -1/3[ et g(x) = C2 dans ]-1/3 ; oo[ avec C1 et C2 deux constantes réelles quelconques.

En espérant ne pas avoir ajouté à la confusion par ce message.

c'était très clair pour moi au début, jusqu'à ce que tu dise qu'il existe d'autre primitives(...), j'ai eu un petit doute au sujet de la fonction g, tu veux dire qu'elle prend la valeur c1 pour des x appartenant à ]-oo;-1/3[ et la valeur c2 pour les x appartenant à ]-1/3;+oo[, donc :
tel que
c'est plus clair écrit de la sorte..
bonsoir

C'est exactement cela que je voulais dire.