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calcul de primitive

Posté par
roxane 15-05-05 à 19:25

bonjour!


j'ai un ex à faire, et je reste bloquée sur le calcul d'une primitive

j'aimerais calculer f(x)=(1/2)(x/(1-x))dx
j'ai posé u=x/(1-x) d'ou dx=(2u/(1+u²)²)du
alors f(x)=(u²/(1+u²)²)du
mais ca ne m'avance pas, alors je ne sais pas quoi faire

si vous pouvez m'aidez svp...

Posté par
Nightmarere : calcul de primitive 15-05-05 à 19:41

Bonjour

3$\rm\frac{u^{2}}{(1+u^{2})^{2}}=\frac{u^{2}+1-1}{(1+u^{2})^{2}}=\frac{1}{1+u^{2}}-\frac{1}{(1+u^{2})^{2}}

Le premier membre a pour primitive arctan(u) . Reste plus qu'a primitiver le second membre .. J'y réfléchis


jord

Posté par
Nightmarere : calcul de primitive 15-05-05 à 20:03

Re

En notant :
3$\rm I_{n}(u)=\Bigint \frac{du}{(1+u^{2})^{n}}

On obtient par primitivation par partie :
4$\rm I_{1}(u)=\frac{u}{1+u^{2}}+2\Bigint \frac{u^{2}du}{1+u^{2}^{2}}
4$\rm I_{1}(u)=\frac{u}{(1+u^{2})}+2\(I_{1}(u)-I_{2}(u)\)
c'est à dire :
4$\rm 2I_{2}(u)=I_{1}(u)+\frac{u}{1+u^{2}}
On en déduit :
4$\rm I_{2}(u)=\frac{1}{2}arctan(u)+\frac{u}{2(1+u^{2})}

c'est à dire que :
4$\rm \Bigint \frac{du}{(1+u^{2})^{2}}=\frac{1}{2}arctan(u)+\frac{u}{2(1+u^{2})}

Voila , on a les deux membres , tu peux conclure


Jord

Posté par
roxanere : calcul de primitive 15-05-05 à 21:36

Bonsoir !

merci pour ton aide !

je n'ai pas compris comment tu obtiens I1(u) par primitivation par partie ?

J'ai essayé de poser g'(u)=1 et f(u)= 1/ (1+u²)n

puis, f'(u)=1/(1+u)² et g(u)= 1/(1+u²)n-1

mais ça marche po

Posté par
Nightmarere : calcul de primitive 15-05-05 à 21:48

Re

Oui , il faut poser :
3$\rm g'(u)=1 et 3$\rm f(u)=\frac{1}{1+u^{2}}
On a alors :
3$\rm g(u)=x et 3$\rm f'(u)=-\frac{2u}{(1+u^{2})^{2}}

On obtient bien le résultat que j'ai marqué

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre:calcul de primitive 15-05-05 à 22:15

Les primitives de la fonction x1/2(x/(1-x)) sur [0,1[ sont les fonctions x1/2[arcsin(x)-(x(1-x))]+
où est une constante réelle arbitraire.
Elles s'obtiennent par le changement de variable: x=sin²(t) pour t[0,/2[.
Remarque:
elles sont continues sur [0,1] et dérivables sur [0,1[.

Posté par
roxanere : calcul de primitive 16-05-05 à 10:00

bonjour! tout d'abord merci pour votre aide!

nightmare: oui c'est vrai on retouve bien ce que tu as écris

elhor_abdelali:je n'arrive pas à trouver ton résultat
j'ai un tuc bizarre,f(x)=8(u²/(1+u²)^3)du

pourquoi on ne retrouve pas la meme chose avec le changemnt de variable fait précédamment?
est-ce que tu vois ou je me suis trompée?


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