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Calcul de primitive

Posté par
vanoise 29-08-22 à 19:22

Bonjour à tous
Un problème de physique me conduit à calculer la primitive suivante :

\int\dfrac{\left[\tan\left(\dfrac{\theta}{2}\right)\right]^{k}}{\sin^{2}\left(\theta\right)}\cdot d\theta
où k est un réel strictement supérieur à 1 et où la variable est susceptible de varier entre 0 et /2.
Existe-t-il une méthode accessible à un physicien un peu "rouillé"  en math ?
J'ai essayé de remplacer le sinus par son expression en fonction de la tangente de l'angle moitié mais cela me parait bien compliqué !
D'avance merci !

Posté par
Ulmierere : Calcul de primitive 29-08-22 à 19:57

Le changement de variable u = \tan(\theta/2) doit fonctionner je pense ?
Parce que ça donne \theta = 2\arctan(u) puis d\theta = \dfrac{2}{1+u^2}du

Et donc l'intégrale vaut I = \int_0^1 \dfrac{2u^k}{(1+u^2)\times \dfrac{4u^2}{(1+u^2)^2}}du = \dfrac12\int_0^1 (1+u^2)u^{k-2}du.

Ca se calcule très bien, soit en développant soit au moyen d'une IPP :

2I = \int_0^1 (1+u^2)u^{k-2}du = \int_0^1 u^{k-2}du + \int_0^1 u^kdu = \dfrac{1}{k-1}(1^{k-1}-0^{k-1}) + \dfrac{1}{k+1}(1^{k+1}-0^{k+1}) = \dfrac{2k}{k^2-1}.

Où est le problème ?

Posté par
vanoisere : Calcul de primitive 29-08-22 à 20:53

Super ! Merci beaucoup ! J'étais parti sur la bonne piste mais avait été arrêté par la relation entre d et du... Manque d'entraînement de ma part...

Posté par
Ulmierere : Calcul de primitive 29-08-22 à 20:56

Posté par
Pirhore : Calcul de primitive 29-08-22 à 20:57

Bonjour à vous deux,

Ulmiere personnellement je trouve \dfrac{k}{k^2-1}

Posté par
Pirhore : Calcul de primitive 29-08-22 à 21:02

Ulmiere

Oups! au temps pour moi car je n'avais pas remarqué que tu avais écrit 2I=...


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