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Calcul de Primitive

Posté par
lrousseau
09-12-23 à 17:16

Bonjour,
Je dois trouver les primitives de cos^4(x)/sin^2(x) sur ]0, pi[

J'ai d'abord essayer de faire une intégration par partie. Mais l'intégrale que j'obtenais était plus compliqué à intégrer.

J'ai donc procédé à u changement de variable, j'ai posé pour u = cos(x)/sin(x) et ai trouvé du = -1/sin^2(x) dx. Or je crois devoir trouvé du = cos^2(x).

Pouvez vous m'éclairer sur mes erreurs s'il vous plaît ?

Posté par
carpediem
re : Calcul de Primitive 09-12-23 à 18:09

salut

on attend que tu nous montres le calcul de du (on ne va pas le faire à ta place ...)

Posté par
larrech
re : Calcul de Primitive 09-12-23 à 18:10

Bonjour,

La dérivée de cotan(x) est bien -1/sin2(x)

Posté par
lrousseau
re : Calcul de Primitive 10-12-23 à 14:58

Bonjour,
J'ai démontré d'une autre manière.

Je vous épargne tout le détails des calculs mais voici comment je m'y suis prise :

∫ cos^4(x) / sin^2(x)  dx = ∫ cos^2(x) / sin(x)  dx
∫ cos^2(x) / sin(x)  dx = ∫ dx / sin(x) - ∫sin(x)  dx

∫ dx / sin(x) - ∫sin(x)  dx = ∫ dx / sin(x) + [cos(x)] + c1

Je me suis focalisée sur ∫ dx / sin(x) où j'ai trouvé :
∫ dx / sin(x) = 1/2 ln [(cos(x)-1)/(cos(x)+1)] +c2

J'obtiens donc comme primitives :

∫ cos^4(x) / sin^2(x)  dx = 1/2 ln [(cos(x)-1)/(cos(x)+x)] + [cos(x)] +C
C un réel quelconque

A la première ligne, j'ai voulu simplifier ma fonction d'origine, sauf que je suis pas sûre d'avoir le droit, et je ne vois pas dans mon cours de remarque sur cette démarche..
Pouvez vous me dire si cela est autorisé ou non s'il vous plaît ?

Posté par
lake
re : Calcul de Primitive 10-12-23 à 15:14

Bonjour,
Ta première ligne est fausse avec une "simplification" pour le moins abusive. Par contre, on peut écrire :

  \dfrac{\cos^4x}{\sin^2x}=-1-\cos^2x+\dfrac{1}{\sin^2x}

Posté par
lrousseau
re : Calcul de Primitive 10-12-23 à 15:39

Bonjour,
Merci pour votre critique, en comparant juste après avoir envoyé on message avec ∫x^2 et (∫x)^2 je m'en suis rendue compte de mon erreur..

Je me permets de détailler votre calcul afin de comprendre comment vous vous y êtes pris.

J'essaie :

-1 -cos^2(x) + 1 /sin^2(x) = -cos^2(x) + (-sin^2(x)+1)/sin^2(x)
= -cos^2(x) + (cos^2(x)/sin^2(x))
= [-cos^2(x)*sin^2(x) + cos^2(x)] / sin^2(x)
= [cos^2(x) * (-sin^2(x) + 1)]/sin^2(x)
= cos^2(x)*cos^2(x)/sin^2(x) = cos^4(x)/sin^2(x)

Je retrouve bien ma fonction de base.
A partir donc de cette nouvelle fonction, j'obtiens comme primitive (j'épargne les calculs de cos^2 et 1/sin^2) :

= 1/2 [ -x -sin(2x)/2 + ln [(cos(x)-1)/(cos(x)+1)] ]

Posté par
lrousseau
re : Calcul de Primitive 10-12-23 à 15:40

Attention j'ai oublié la constance C

Posté par
lake
re : Calcul de Primitive 10-12-23 à 17:05

Il y a des choses qui ne vont pas :

Tu es reparti de primitives de \dfrac{1}{\sin\,x} qui donnent un ln qui n'a pas lieu d'être.
Il s'agit ici de primitives de \dfrac{1}{\sin^{\red 2}x} qui sont très simples (voir le message de larrech plus haut).

Pour contrôle, j'obtiens pour primitives :

F(x)=-\dfrac{3x}{2}-\dfrac{1}{4}\,\sin\,2x-\dfrac{\cos\,x}{\sin\,x}+C

Posté par
lake
re : Calcul de Primitive 10-12-23 à 17:13

Ah ! Désolé je viens de remarquer :

Citation :
Tu es repartie ...

Posté par
lrousseau
re : Calcul de Primitive 10-12-23 à 17:49

D'accord, je vois
J'avais en effet fait une erreur de signe en addition -x et -x/2.
..Sans compter 1/sin(x) à la place de 1/sin^2(x)
(je dois faire plus attention !)

Je vous remercie
Bonne soirée

PS : ce n'est pas grave

Posté par
lake
re : Calcul de Primitive 10-12-23 à 18:00

Bonne soirée à toi

Posté par
lake
re : Calcul de Primitive 10-12-23 à 18:53

Tout de même un petit commentaire si tu repasses par ici :
Pour le calcul d'intégrales (bornées) du type \int_a^bf(x)\,\tetx{d}x, le changement de variable est souvent l'arme absolue.
Pour le calcul de primitives, il faut bien avoir en tête qu'il faudra, en fin de parcours, revenir à la variable initiale. Cela aboutit souvent à des formules tarabiscotées qu'il est difficile de "simplifier" alors que d'autres méthodes (comme ici) permettent d'arriver à un résultat relativement simple.
Il n'y a pas vraiment de "règles" générales. Il faut explorer dans chaque cas.

Posté par
lrousseau
re : Calcul de Primitive 10-12-23 à 22:06

Oui,
J'ai commencé  par faire un changement de variable dans ma démarche, sauf que je me suis sentie bloquée avec mon u et du fixé..
Cela signifie t'il qu'il y a des cas ou le changement de variable ne fonctionne pas donc ..
Mais selon vous, dans mon exercice, cela devait-il fonctionner ?
Si oui, je réessayerai de nouveau !

Posté par
lake
re : Calcul de Primitive 11-12-23 à 00:18

Dans ton exercice, ça fonctionne, oui, mais au prix de complications.

Avec ton changement de variable u=\dfrac{\cos\,x}{\sin\,x}, je te donne quelques résultats intermédiaires :

 I=\int-\dfrac{u^4}{(u^2+1)^2}\,\text{d}u=\int\left(-1+\dfrac{2}{u^2+1}-\dfrac{1}{(u^2+1)^2}\right)\,\tetx{d}u

I=-u+\dfrac{3}{2}\,\arctan\,u-\dfrac{u}{2(u^2+1)}+C

Et il faut encore revenir à la variable de départ x (avec une petite difficulté en \dfrac{\pi}{2}).
Cela en vaut-il la chandelle ?

Posté par
lrousseau
re : Calcul de Primitive 11-12-23 à 00:39

Aïe aïe,
En effet, de cette façon , on ne saurait plus où se donner de la tête et me connaissant, je ferais encore plus d'erreurs que plus tôt.

De fait, c'est une méthode que j'ai beaucoup en classe. Donc je pensais que cette méthode était la plus adaptée (voir même la seule au début) pour cet exercice.
De plus, je n'avais pas vu d'exemple de décomposition en éléments simples avec cos et sin, j'en avais déduis que cela n'étais pas applicable sur ces fonctions. Mais à présent,  je le sais et le garderais dans un coin de ma tête

Merci encore

Posté par
larrech
re : Calcul de Primitive 11-12-23 à 08:35

Bonjour,

Citation :
j'en avais déduis que cela n'étais pas applicable sur ces fonctions.


Au contraire, on peut toujours transformer ainsi une fraction rationnelle en \sin(x) et \cos(x) en fraction rationnelle que l'on sait  décomposer en éléments simples, et donc primitiver.
Voir "règles de Bioche", par exemple là

Mais comme le dit lake les calculs peuvent s'avérer extrêmement pénibles...

Posté par
lake
re : Calcul de Primitive 11-12-23 à 13:25

Bonjour à tous
Je rajoute ceci à l'intention de lrousseau :

Citation :
J'ai d'abord essayer de faire une intégration par partie. Mais l'intégrale que j'obtenais était plus compliquée à intégrer.


Et pourtant ça ne marche pas si mal :

en posant u=\cos^4x et v'=\dfrac{1}{\sin^2x}, F(x)=-\dfrac{\cos^5x}{\sin\,x}-4\int\cos^4x\text{ d}x
 \\
  il faut en passer par la linéarisation de \cos^4x=\dfrac{\cos\,4x+4\,\cos\,2x+3}{8} (ce n'est pas très long). On obtient au final :

F(x)=-\dfrac{3x}{2}-\dfrac{1}{8}\sin\,4x-\sin\,2x-\dfrac{\cos^5x}{\sin\,x}+C

Posté par
lrousseau
re : Calcul de Primitive 11-12-23 à 23:49

Bonjour,

J'avais posé u = cos^3(x) et v' = cos()/sin^2(x) ..
Ce qui me faisait obtenir co^3s(x)/sin(x) - ∫ (-3sin(x)*cos^2(x))/sin(x), d'où ma peur face à cette nouvelle intégrale

Je ne sais pas ce qui m'étais passé par la tête

Mais pour cette primitive calculée à partir de l'IPP,  est-elle égale à celle présentée plus haut ?
J'ai essayé de trouver sur internet un méthode pour transformer -1/8sin(4x) -sin(2x) -cos^5(x)/sin(x) afin de retrouver 1/4*sin(2x) - cos(x)/sin(x) mais je n'ai rien trouvé

Posté par
lake
re : Calcul de Primitive 12-12-23 à 00:10

Bonsoir lrousseau,

Citation :
Mais pour cette primitive calculée à partir de l'IPP,  est-elle égale à celle présentée plus haut ?


Au pire elle ne diffère de l'autre que d'une constante !
Et au mieux, c'est d'ailleurs le cas, la constante en question est nulle.
Autrement dit, les deux expressions sont égales.
Maintenant qu'on le sait, "trouver sur internet" n'est pas vraiment recommandé : je n'ai pas fait les calculs mais linéariser des deux côtés à tour de bras permet certainement d'aboutir

Posté par
lake
re : Calcul de Primitive 12-12-23 à 00:19

Bon, "à tour de bras" est peut-être excessif mais linéariser \cos^5x ne peut certainement pas faire de mal



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