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calcul de probabilité

Posté par
cfg977
06-05-22 à 02:44

Soit (m,n) (\in \mathbb{N^*})^2. On considère une urne contenant une boule noire notée N, n
boules blanches notées B_1,B_2,...,B_n et m -1 boules rouges notées R_1,R_2,...,R_{m-1}.
On effectue des tirages successifs d'une boule dans cette urne, sans remise de la boule dans l'urne après tirage, jusqu'à épuisement de l'urne. Un résultat de cette expérience aléatoire est donc une (m+n)-liste (ordonnée ...) composée des mn symboles B_1,B_2,...,B_n,
 \\ R_1,R_2,...,R_{m-1} et N. On note B l'événement constitué des tirages où la boule noire est tirée avant chacune des boules rouges, et, pour tout entier i \in \llbracket 1~;~ n \rrbracket l'événement
constitué des tirages où la boule noire est tirée après la boule blanche Bi.
(b) Calculer la probabilité P(B).

Posté par
cfg977
re : calcul de probabilité 06-05-22 à 03:06

Bonsoir.
Je voudrais de l'aide pour l'exercice suivant :

On considère une urne contenant une boule noire notée N, n
boules blanches notées B_1,B_2,...,B_n et m -1 boules rouges notées R_1,R_2,...,R_{m-1}.

On effectue des tirages successifs d'une boule dans cette urne, sans remise de la boule dans l'urne après tirage, jusqu'à épuisement de l'urne. Un résultat de cette expérience aléatoire est donc une (m+n)-liste (ordonnée ...) composée des mn symboles B_1,B_2,...,B_n,R_1,R_2,...,R_{m-1} et N.

On note B l'événement constitué des tirages où la boule noire est tirée avant chacune des boules rouges, et, pour tout entier i \in [1 , n]~ A_i l'événement constitué des tirages où la boule noire est tirée après la boule blanche B_i.

(a)Montrer que la probabilité P(B) = \frac{1}{m}.

Les résultats possibles sont des permutations des m+n boules de l'urne.

On note i le rang d'apparition de la boule noire. i peut prendre une valeur entre 1 et n+m-(m-1)=n+1 car au delà de cette valeur on a forcement au moins boule rouge qui vient avant la boule noire.

i-1 boules blanche précédent la boule noires : il y a A_n^{i-1}. Après la boule noire il ne reste plus que n+m-i boules à positionner.

Le nombre de cas favorables est \sum_{i=1}^{n+1}{A_n^{i-1}(n+m-i)!}.

Je n'arrive pas à montrer que \sum_{i=1}^{n+1}{A_n^{i-1}(n+m-i)!} = \frac{(n+m)!}{m} pour conclure.

Posté par
ty59847
re : calcul de probabilité 06-05-22 à 09:14

Peut-être qu'en faisant des calculs de ce genre, on peut aboutir.
Mais sans le moindre calcul, par un argument simple, tu peux expliquer que cette probabilité est de 1/m (je choisis volontairement le mot expliquer plutôt que démontrer).

Posté par
GBZM
re : calcul de probabilité 06-05-22 à 09:21

Bonjour,

Tu te compliques la vie : il suffit d'oublier les boules blanches et de considérer l'ordre dans lequel sont tirées les boules rouges et la noire.

Posté par
cfg977
re : calcul de probabilité 06-05-22 à 11:19

Bonjour,

L'évènement B ne tient compte que de l'ordre d'arrivée des boules rouges et de la noire. Dans un premier temps on fait abstraction des boules blanches.

On a (m-1)! dispositions des boules rouges et de la noire qui correspondent à l'évènement B sur m! possibilité au total.

On peut maintenant prendre en compte la présence des boules blanches en commençant par la première. Le résultat reste toujours \frac{(m+1)(m-1)!}{(m+1)m!} et ainsi de suite. In fine P(B)=\frac{1}{m}

En tout cas ceci est l'argument le plus simple que j'ai pu trouver pour me convaincre moi-même.
Merci

Posté par
GBZM
re : calcul de probabilité 06-05-22 à 11:37

Il y a une bijection de l'ensemble des tirages où la noire est tirée avant toutes les rouges sur l'ensemble des tirages où il y a i>0 rouges précédant la noire : cette bijection consiste à échanger la noire avec la i-ème rouge.

Posté par
cfg977
re : calcul de probabilité 06-05-22 à 12:04

Après réflexion sur ce que vous venez dire, je constate que l'ensemble de tous les résultats possibles se décompose en m parties de même effectif. Les parties où zéro boule, un boule, deux ... , m-1 rouges précèdent la noire. Toutes ces parties ont donc le même cardinale \frac{(m+n)!}{m}

Posté par
GBZM
re : calcul de probabilité 06-05-22 à 12:08

Le même type de raisonnement te donne immédiatement la probabilité de l'événement A_i.

Posté par
flight
re : calcul de probabilité 06-05-22 à 13:57

salut

on peut obtenir P(B)  en calculant la somme  
P(B)= C(n,k-1).(k-1)!.(m+n-k)!/(m+n)!  pour k compris entre 1 et n+1   je passe les details du calcul mais ca donne bien 1/m

Posté par
GBZM
re : calcul de probabilité 06-05-22 à 14:08

Pourquoi faire simple quand on peut faire compliqué ?

Posté par
ty59847
re : calcul de probabilité 06-05-22 à 18:35

On a des boules blanches, et les m autres boules.
Ces m autres boules sont les boules R_1, R_2 ... R_{m-1} et la boule N
Parmi ces m boules, laquelle sortira en premier.
Elles ont toutes la même probabilité de sortir en premier. Elles ont toutes une probabilité 1/m de sortir en premier.



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