bonjour

il y a une m'éthode toute simple


on écrit S de deux façons:


on additionne les deux lignes terme à terme cela donne:
     (le tout n-1 fois)

donc

0+1+2+...(n-1)=S
on
ecrit juste en desous:
(n-1)+..+2+1+0=S (dans le sens inverse)

tu sonne les deux:
tu as n fois la somem de deux nombre qui fait toujours (n-1)
donc
2S=n(n-1)

S=n(n-1)/2

merci pour la méthode effectivement ca marche bien.

Merci Youpi

et merci guillome

Si on veut un peu compliquer.

Par récurrence.

Supposons que Somme k (de k=0 à n-1) = n.(n-1)/2 pour une certaine valeur de n, on a alors:

Somme k (de k=0 à n-1) = n.(n-1)/2

n + Somme k (de k=0 à n-1) = n.(n-1)/2 + n

Somme k (de k=0 à n) = (n²-n + 2n)/2

Somme k (de k=0 à n) = (n² +n)/2

Somme k (de k=0 à n) = n(n + 1)/2

Somme k (de k=0 à n) = (n + 1).n/2

Somme k (de k=0 à n) = (n + 1).[(n+1)-1]/2

Et c'est l'expression Somme k (de k=0 à n-1) = n.(n-1)/2 dans laquelle n est devenu (n+1)

Donc si Somme k (de k=0 à n-1) = n.(n-1)/2 est vraie pour une certaine valeur de n, elle est encore vraie pour n +1
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Somme k (de k=0 à 1) = 1
et 1*(2-1)/2 = 1

--> Somme k (de k=0 à n-1) = n.(n-1)/2 est vraie pour n = 2

Comme Somme k (de k=0 à n-1) = n.(n-1)/2 est vraie pour n = 2, elle est vraie aussi pour n = 3.
Comme Somme k (de k=0 à n-1) = n.(n-1)/2 est vraie pour n = 3, elle est vraie aussi pour n = 4.
...
Et ainsi de proche en proche, omme k (de k=0 à n-1) = n.(n-1)/2 est vraie pour tout n >= 2
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Sauf distraction.