Sauf erreur, on doit reconnaître un développement de arctan.
La somme vaut arctan(1)-1 = pi/4 - 1

Nicolas_75 >> tu veux dire que la somme tend vers pi/4 - 1 en l'infini, non ? car je croi que Giny2 veux expliciter cette somme en fonction de k. sa valeur est fonction de k, donc la somme ne peux etre pi/4 - 1 pour tout k entier naturel (prendre k=1 par exemple)

Bonjour tout le monde;
j'ai l'impression que:

elessar53, bien sûr. Merci de m'avoir corrigé.

merci pour vos réponses. Elassar53 je voudrai effectivement expliciter cette somme en fonction de k, d'ou mon problème...
Elhor je comprend pas trop ton expression de la somme, comment la trouve-tu?
Crois tu qu'après on puisse trouver la somme en fonction de K?

L'expression de la somme est triviale, pour la comprendre essaie d'ecrire ta somme pour k = 3 par exemple, la somme vaut 1/5 - 1/3 + 1/9 - 1/7 + 1/13 - 1/11 = -1/3 +1/5 - 1/7 + 1/9 - 1/11 + 1/13 = somme alternée des inverses des 2k (soit 6 dans cet exemple) nombres impairs superieurs à 2.
Quand à la limite pi/4 - 1 en l'infini, ma calculatrice semble confirmer, mais j'avoue que la demarche m'interresserait ... Doit-on reconnaitre ici une somme de Riemann ?

Une petite idée:
et donc:
et comme:
on voit qu'effectivement:

:

Bonjour

On a aussi .

Pour la focntion , voir http://mathworld.wolfram.com/DigammaFunction.html

Voilà,cordialement Yalcin