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Calcul de somme

Posté par
Pierro714 07-09-13 à 19:54

Bonjour à tous,

je viens de rentré en première année de prépa mpsi et j'ai déjà quelques petits problèmes sur certains exercies...

Voici la somme à calculer :

∑ (-1)^n  * (p parmi n)     (p allant de 0 à n)

Je sais que je dois trouver que cette somme est égale à 0 et par ailleurs que je dois trouver (1-1)^n
Elle ressemble aux lignes du triangle de pascal qui s'annule
1-1=0
1-2+1=0
1-3+3-1=0
1-4+6-4+1=0
...
Cependant je ne comprends pas comment développer la somme... Et j'aimerais quelques indices

   Merci d'avance!

Posté par
carpediemre : Calcul de somme 07-09-13 à 19:58

salut

Citation :
Et j'aimerais quelques indices

justement y a erreur dans les indices ...

Posté par
kybjmre : Calcul de somme 07-09-13 à 20:11

Après correction concernant les indices :
Ne connais-tu pas le polynôme p=0n (-1)pC(n,p)Xn

Posté par
lafol Moderateurre : Calcul de somme 07-09-13 à 21:12

bonjour

ce ne serait pas plutôt (-1)^p, que (-1)^n, dans la somme à calculer ?
sinon, rappelle toi que 1 = 1^{n-p}...

Posté par
lafol Moderateurre : Calcul de somme 07-09-13 à 21:13

kybjm : pareil, ce n'est pas X^n mais X^{n-p}, dans ton polynôme ... sinon c'est un monôme ....

Posté par
kybjmre : Calcul de somme 07-09-13 à 23:06

Bien sûr .

Posté par
Pierro714re : Calcul de somme 08-09-13 à 00:42

Oui excusé moi je me suis trompé (pris par le temps^^)
C'est bien (-1)^p

kybjm : non je ne connais pas du tout ce polynôme  :S

Mon exercice comprend encore d'autres sommes contenant aussi ( p parmi n )
Et n'ayant jamais vraiment fait de calcul de somme dans mon lycée antérieur, je n'arrive pas à trouver de méthode pour développer et supprimer la somme.

Je me demande si on ne pourrait pas utiliser le binôme de Newton pour ensuite arriver à l'expression (1-1)^n ?

Posté par
Oelre : Calcul de somme 08-09-13 à 00:50

Oui c'est exactement ca que tu dois faire

Posté par
Pierro714re : Calcul de somme 08-09-13 à 10:42

Oui j'ai trouvé peu de temps après !

Merci à tous ! Et surtout à lafol qui m'a donné un indice bien précieux !

Posté par
Pierro714re : Calcul de somme 08-09-13 à 12:12

Pendant que j'y suis, j'ai un autre soucis de avec des sommes dans un dm..


Voici l'énoncé : Montrer que pour tout entier naturel non nul :

        k*(n+k parmi 2n )  =  n+*(n parmi 2n-1)
   (pour k allant 0 à n)

Il me semble que la récurrence est la méthode la mieux adaptée. J'ai fais l'initialisation pour n=1 et les deux membres sont bien égaux à 1

Si je ne me trompe pas il faut maintenant que je montre que :

        k*((n+1)+k parmi 2(n+1) )  =  (n+1)*((n+1) parmi 2(n+1)-1)
   (pour k allant 0 à n+1)


J'ai donc essayé de décomposer le terme avec la somme pour arriver à l'autre mais je pense avoir fait des erreurs..

Voici ce que je trouve:

        k*(n+k parmi 2n ) + (n+1) * (n+(n+1) parmi 2(n+1) )
   (pour k allant 0 à n)

  = n+*(n parmi 2n-1) + (n+1)*(2n+1 parmi 2n+2)


Mais arrivé ici j'ai l'impression de m'embrouiller..

Ais-je fais des erreurs ?

Merci d'avance !

Posté par
Pierro714re : Calcul de somme 08-09-13 à 21:08

Personnes ?

Posté par
lafol Moderateurre : Calcul de somme 08-09-13 à 21:13

je ne comprends pas du tout comment tu as "décomposé" le terme avec la somme ....
pas évident que la récurrence soit le plus adapté, ici

Posté par
Pierro714re : Calcul de somme 08-09-13 à 21:17

Je n'ai jamais appris à développer et décomposer une somme donc j'essaie tout ce que trouve et ce qu'il me semble le plus logique... Mais je pense bien qu'il y a des erreurs !

Si la récurrence ne marche pas, quelle autre méthode pourrais-je utiliser ?

Posté par
lafol Moderateurre : Calcul de somme 08-09-13 à 21:20

c'est un exercice isolé, ou il y avait des questions avant qui seraient susceptibles de te suggérer une méthode ?

Posté par
Pierro714re : Calcul de somme 08-09-13 à 21:23

Non un exercice isolé, j'ai posté l'énoncé au début du message:

"" Voici l'énoncé : Montrer que pour tout entier naturel non nul :

        k*(n+k parmi 2n )  =  n+*(n parmi 2n-1) ""
   (pour k allant 0 à n)

La récurrence me semblait le mieux mais je n'aboutis pas...

Posté par
lafol Moderateurre : Calcul de somme 08-09-13 à 21:27

le passage de n à n+1 ne saute pas aux yeux, il faut bien le dire

en cherchant du côté de choses genre (1+x)^{2n} qu'on dériverait, peut-être ?

Posté par
Pierro714re : Calcul de somme 08-09-13 à 21:31


Je ne vois pas du tout là.. :s

Quel lien je pourrais faire entre mon égalité et (1+x)^{2n}  ?

Posté par
lafol Moderateurre : Calcul de somme 08-09-13 à 21:41

en dérivant le développement du binôme, ça fait apparaitre des k devant les nombres de combinaisons, ensuite on remet x = 1
mais je sais pas si ça peut aboutir

Posté par
Pierro714re : Calcul de somme 08-09-13 à 21:44

D'accord merci, je vais essayer tout ça et vous redis si j'arrive à quelque chose. Merci !

En attendant si quelqu'un à une autre idée, qu'il soit le bienvenue !

Posté par
kybjmre : Calcul de somme 09-09-13 à 00:13

C'est quoi le n+ dans " n+*(n parmi 2n-1) " ?

Posté par
Pierro714re : Calcul de somme 09-09-13 à 17:30

C'est une erreur de ma part !
C'est :

  n*(n parmi 2n-1)


Après avoir pas mal cherché et demandé conseil à mon prof, il m'a dit que l'on pouvait utiliser la formule du triangle de pascal et les formules télescopiques. J'ai essayé mais toujours rien..

Posté par
lafol Moderateurre : Calcul de somme 09-09-13 à 22:58

en écrivant {2n \choose n+k} = {2n-1\choose n+k} + {2n-1\choose n+k-1} ? à creuser, en effet ....

Posté par
cailloux Correcteurre : Calcul de somme 10-09-13 à 16:29

Bonjour,

Sans récurrence:

\large S=\sum_{k=0}^{n}k\binom{2n}{n+k}=\sum_{k=0}^{n}(n+k)\binom{2n}{n+k}-n\sum_{k=0}^{n}\binom{2n}{n+k}

\large S=2n\sum_{k=0}^{n}\binom{2n-1}{n+k-1}-n\sum_{k=0}^{n}\binom{2n}{n+k} en utilisant \large p\binom{n}{p}=n\binom{n-1}{p-1}

\large S=2n\sum_{k=0}^{n}\binom{2n-1}{n+k-1}-n\sum_{k=0}^{n-1}\binom{2n-1}{n+k-1}-n\sum_{k=0}^{n-1}\binom{2n-1}{n+k}-n avec la formule de Pascal.

\large S=2n\sum_{k=0}^{n}\binom{2n-1}{n+k-1}-n\sum_{k=0}^{n}\binom{2n-1}{n+k-1}-n\sum_{k=0}^{n-1}\binom{2n-1}{n+k} en réintégrant le \large -n dans la somme du milieu.

\large S=n\left[\sum_{k=0}^{n}\binom{2n-1}{n+k-1}-\sum_{k=0}^{n-1}\binom{2n-1}{n+k}\right]

\large S=n\left[\binom{2n-1}{n-1}+\sum_{k=0}^{n-1}\binom{2n-1}{n+k}-\sum_{k=0}^{n-1}\binom{2n-1}{n+k}\right] avec un changement d' indice dans la première somme.

\large S=n\binom{2n-1}{n-1}

Ce n' est pas tout à fait le résultat demandé, mais j' ai l' impression que c' est le mien qui est juste...

Posté par
cailloux Correcteurre : Calcul de somme 10-09-13 à 16:40

En fait c' est pareil!

\large S=n\binom{2n-1}{n-1}=n\binom{2n-1}{n}

Posté par
GaBuZoMeure : Calcul de somme 10-09-13 à 16:40

Astucieux !

Posté par
cailloux Correcteurre : Calcul de somme 10-09-13 à 16:44

Merci! Mais j' y ai passé beaucoup (trop ?) de temps!

Posté par
Pierro714re : Calcul de somme 10-09-13 à 17:28

Je suis parti sur le même chemin et j'y étais presque !

Merci en tout cas pour avoir trouvé et détaillé ! cela m'a permit de corriger les quelques erreurs que j'avais faites !

Merci beaucoup, à tous pour votre aide !


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