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Niveau LicenceMaths 2e/3e a
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Calcul de surface

Posté par
curiosite
19-06-22 à 13:40

Bonjour tout le monde :

J'essaye de calculer la surface suivante :

S = \begin{cases} M(x,y) = (x,y,z) / x^2+y^2 \leq 9 , z=xy} \end{cases} \left.\begin{matrix} \end{matrix}\right\rbrace

Je suis passé en coordonnées polaires x=r.cos(\theta ) , y=r.sin(\theta )

En calculant l'intégrale :

\int_{0}^{2\Pi }{ \int_{0}^{3}{(r.cos\theta .rsin\theta)r.dr.d\theta }} = \int_{0}^{2\Pi }{ \int_{0}^{3}{r^3.cos(\theta ).sin(\theta ).dr.d\theta }} \;

= \int_{0}^{2\Pi}{\int_{0}^{3}{r^3.sin(2\theta).dr.d\theta }} = \int_{0}^{2\Pi}{\frac{81}{4}.sin(2\theta).d\theta }

cette intégrale est égale à 0 ce qui me paraît logiquement faux.

Qu'est-ce que vous en pensez ?

Merci.

Posté par
curiosite
re : Calcul de surface 19-06-22 à 13:42

Petite rectification pour le passage de la 1ère égalité à la 2ème:

=\frac{1}{2} \int_{0}^{2\Pi}{\int_{0}^{3}{r^3.sin(2\theta).dr.d\theta }} = \int_{0}^{2\Pi}{\frac{81}{8}.sin(2\theta).d\theta }

Posté par
carpediem
re : Calcul de surface 19-06-22 à 14:41

salut

à première vue comme ça je dirai simplement parce que tu ne tiens pas compte de z ...

Posté par
Razes
re : Calcul de surface 19-06-22 à 16:45

Bonjour,

Ce que tu as calculé en coordonnes cylindrique est la surface d'un disque de rayon 3. Ce qui n'a rien à voir avec l'énoncé.

Ce que tu dans ton énoncé est un cylindre coupé par une surface hyperbole paraboloïde. Commence par faire un dessin de chaque surface afin de voir comment aborder la résolution.

Posté par
curiosite
re : Calcul de surface 19-06-22 à 21:00

Donc il ne s'agit même pas d'une intégrale double qu'il faut calculer en fait non ?

Posté par
Razes
re : Calcul de surface 19-06-22 à 22:34

curiosite @ 19-06-2022 à 21:00

Donc il ne s'agit même pas d'une intégrale double qu'il faut calculer en fait non ?
Si, ca sera une intégrale double cas c'est le calcul d'une surface.  Dans le cas d'un cylindre de hauteur h et de rayon R, l'aire de la partie cylindrique =(Périmètre de la base) x (Hauteur).

Autre exemple: la surface de la tôle d'une boite de conserve = (l'aire de la partie cylindrique) + (Aire de la base Supérieure)+ (Aire de la base Inférieure)

Dans ton cas, il faut que tu ai une idée de la surface à calculer (à intégrer) afin d'avoir une idée sur les intersection entre les surfaces.

Pour la partie cylindrique le périmètre élémentaire est r.d\theta avec r=3. la surface élémentaire est R.d\theta .dz

Donc: savoir ce que c'est la surface z=xy

Posté par
curiosite
re : Calcul de surface 20-06-22 à 11:57

Razes @ 19-06-2022 à 22:34

curiosite @ 19-06-2022 à 21:00

Donc il ne s'agit même pas d'une intégrale double qu'il faut calculer en fait non ?
Si, ca sera une intégrale double cas c'est le calcul d'une surface.  Dans le cas d'un cylindre de hauteur h et de rayon R, l'aire de la partie cylindrique =(Périmètre de la base) x (Hauteur).

Autre exemple: la surface de la tôle d'une boite de conserve = (l'aire de la partie cylindrique) + (Aire de la base Supérieure)+ (Aire de la base Inférieure)

Dans ton cas, il faut que tu ai une idée de la surface à calculer (à intégrer) afin d'avoir une idée sur les intersection entre les surfaces.

Pour la partie cylindrique le périmètre élémentaire est r.d\theta avec r=3. la surface élémentaire est R.d\theta .dz

Donc: savoir ce que c'est la surface z=xy


J'ai trouvé finalement que S = \frac{2\Pi}{3}(10\sqrt{10}-1)

Posté par
lake
re : Calcul de surface 20-06-22 à 16:14

Bonjour,

Juste !

Posté par
lake
re : Calcul de surface 20-06-22 à 16:39

Une image pour tenter de visualiser le domaine :

Calcul de surface

Posté par
Razes
re : Calcul de surface 20-06-22 à 17:39

@lake,
Que c'est beau. Sur quoi tu l'as tracé ? Merci

Posté par
lake
re : Calcul de surface 20-06-22 à 22:20

Bonsoir Razes,

Maple. La curiosité aidant, j'ai voulu tester ce genre de choses sur ce logiciel. C'était une première pour moi. Je ne pensais pas poster le résultat et puis l'esthétique m'a décidé ...
Ce qui est curieux : le paraboloïde hyperbolique est une surface réglée : son quadrillage est effectivement constitué des "règles" en question.

Posté par
Razes
re : Calcul de surface 21-06-22 à 00:00

Merci lake, je vais essayer de voir si on peut se limiter à la partie du paraboloïde hyperbolique à l'intérieur du cylindre afin de retrouver un chips.

Posté par
lake
re : Calcul de surface 21-06-22 à 16:19

De mon côté, j'espérais faire une animation en faisant tourner le parallélépipède autour d'un axe (par exemple celui des z).
Je ne m'en sors pas ... j'abandonne

Posté par
carpediem
re : Calcul de surface 21-06-22 à 17:26

pour le plaisir :

Calcul de surface

Posté par
GBZM
re : Calcul de surface 21-06-22 à 18:30

Bonsoir,

Une chips pour l'apéro ?

Calcul de surface

Posté par
Razes
re : Calcul de surface 22-06-22 à 00:47

@GBZM, c'est déjà une très belle illustration , il est bien le Pringles si ce n'est pas une selle à cheval.

Posté par
alb12
re : Calcul de surface 22-06-22 à 15:15

salut,
bref aperçu avec Xcas pour Firefox
Esthetique tres inferieure à maple
ce serait beaucoup mieux avec Xcas PC
c'est mieux egalement sous android

on modifie le point de vue en cliquant sur la figure
effacer la console

Posté par
alb12
re : Calcul de surface 24-06-22 à 12:10

amelioration



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