Bonjour,

Quelle est la définition de la densité de probabilité ?

Nicolas

*** message déplacé ***

Si quelqu'un à la méthode et démarche à suivre :

EXERCICE 1 :
Soit X une v.a. de la loi uniforme sur ]0,1[
On definit la v.a. Y par : Y = -ln(X)
1. Déterminer la densité de proba g de la v.a. Y ?????????
2. Calcul de l'espérance mathématique et la variance de Y. ????????

EXERCICE 2 :
Soit [a,b] un intervalle de R
Soit X une v.a. possédant la densité :  f(x) =  1/(b-a) si x E [a,b]
                                                0       sinon

1. Vérifier f(x) est un densite de proba
(cette question, je l'ai trouvé : f(x) continue, f(x)>= 0 et intégrable sur [a,b] vérifiant que l'intégrale est égale à 1)
2. Espérance et variance (j'ai trouve E(X)=(a+b)/2 et v(x)=(b-a)au carré /12)
3. Fonction de répartition (j'ai trouvé F(x)=x/(b-a))
4. Probabilité attachée à un intervalle quelconque [alpha,beta] ??????????

bonjour,
ex2)
1) f est continue sauf en un nombre fini de points ( pas continue en a et en b) mais cela suffit pour une densité de probabilité
2) correct
3)
F(x)=0 si x<a
F(x)=(x-a)/(b-a) si axb
F(x)=1 si x>a
F est définie sur R tu ne dois pas te contenter de son expression sur[a,b]
4)
on demande sans doute de calculer P(X)
c'est à dire F()-F()   donc il y a plusieurs cas à considérer

pour l'exercice 1) tu vas chercher la fonction de répartition de Y c'est à dire P(Yy)
pour y réel

Yy<=>-lnXy<=>ln(1/X)y<=>Xe^-y

P(Yy)=p(Xe^-y=1-P(Xe^-y

il manque des (
p(Xe^-y)=1-P(Xe^-y)

Merci pour les réponses.

Si je comprend bien déterminer la densite de probabilite d'une v.a c'est calculer sa fonction de repartition.
Comment calculer E(Y) et E(X)  ???

je t'ai répondu ce midi mais pas trace de mon message?je recommence
si Y est une variable à densité f et si F est la fonction de répartition de Y alors f=F' donc si tu connais F tu dérives et tu as f
quand tu as f si
_-oo^+oot.f(t)dt existe c'est E(X) l'espérance de Y

Merci j'ai bien compris maintenant la différence entre la densite et la fction de repartition mais je ne sais pas calculer la derivée de 1-P(X<=e^(-y))
(e^-y)'= -e^(-y) après je suis bloquée.

J'ai besoin de la méthode pour calculer la dérivée de la fonction de répartition :
1 - P(X<=e^(-y))

Merci pour la réponse

Y-a-t-il une autre expression de la fonction de repartition pour trouver sa derivee F'(x) ????

si F(x)=1-P(X<=e^(-y))

bonjour,
je viens seulement de trouver ton message
je note G la fonction de répartition de Y et F celle de X
on a donc
G(y)=1-F(e^-y)
si g est une densité de Y g(y)=G'(y)=-[F(e^-y)]'=-(-e^-y)F'(e^-y)=  **
e^-yf(e^-y)  si f est une densité de X
si y<0 e^-y>1 donc f(e^-y)=0 et g(y)=0
si y0  0<e^-y1  donc f(e^-y)=1 et g(y)=e^-y
sauf erreur de ma part :
g(y)=0  si y<0
g(y)=e^-y si y0

Y suit la loi exponentielle de paramètre =1
on sait que l'espérance d'une variable exponentielle de paramètre c'est 1/ et que sa variance est égale à 1/²


**dérivée d'une fonction composée

Merci pour les réponses mais j'ai encore du mal à tout comprendre

Ok pour l'espérance et la variance

Par contre, je ne comprend pas comment on passe de

-[F(e-y)]'   à  -(-e-y) F'(e-y)

Bonjour à tous

veleda n'étant pas connectée mais que je salue (salut veleda ! ), je me permets de répondre.

En fait, veleda te l'a déjà expliqué :

si on pose , on a à dériver la composée de fonctions Fog.
Il suffit alors d'appliquer la formule :



Kaiser

ok merci cette fois est bon, c'est compris

Pour ma (petite) part, je t'en prie !

bonjour
>>Katle

on peut aussi exprimer la fonction de répartition de Y et dériver ensuite

G(Y)=1-F(e^-y) où F est la fonction de répartition de la variable X suivant la loi uniforme sur [0,1]
*si y>0 0<e^-y<1  or si 0<x<1 F(x)=x  donc F(e^-y)=e^-yet G(y)=1-e^-y
**si y0  1e^-y  or si x 1 F(x)=1
donc on aura G(y)=1-1=0
conclusion:
siy>0 g(y)=e^-y
siy0 g(y)=0
on a bien les mêmes résultats en réalité ce ne sont pas tout à fait les mêmes car  
dans la première démonstration  j'ai d'abord considéré y élément de ]-oo 0[ et dans celle ci j'ai pris]-oo,O]  cela n'a pas d'importance  
une variable continue n'a pas une densité elle peut en avoir plusieurs qui diffèrent en un nombre fini de points
>> bonjour kaiser et merci
d'avoir pris la relève