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calcul des variations
Qui veut s'y coller ?
Soient + et
telles que
et telles que
est intégrable.
On fixe et on cherche quelle(s) fonction(s)
maximise(nt)
.
Rebonjour,
Tu es sur qu'il n'y a pas d'autres hypotheses sur f et p ?
Support ?
Decroissance a l'infini ?
A+
OK, mais on n'integre que sur le support de f !?
En fait la condition c'est que existe, mais peut-être est-ce ambigu, alors nous dirons que de plus f et p ne s'annulent pas.
Hum,hum...
J'étais en train de réfléchir au cas particulier où p est la
fonction caracteristique (indicatrice) de [0,1].
Mais à présent je suis dérouté si f et p ne s'annulent pas...
Allez, je suis sur que c'est encore cette brave gaussienne
qui maximise ! 
PS: Ca resemble a de l'entropie, tout cela...
Une petite question, car je débute: comment fait-on une citation d'une formule mathématique ?
Merci !
Au fait: si on prend l'indicatrice de [0,1], l'exo reste valable ???
:?
Au fait: si on prend l'indicatrice de [0,1], l'exo reste valable ???
C'est vrai cette intégrale commence à m'énerver je n'arrive pas à en venir à une condition définitive. En termes probabilistes c'est
Bonjour stokastik,
Es-tu sur qu'il y a une solution a ton exo ?
Si , l'indicatrice de [0,1], l'inégalité de Jensen nous dit
que l'integrale est toujours minorée par . Ainsi c'est f=p qui minimise...
Mais la fonction qui maximise ?? Si f est une loi uniforme, alors
c'est . Sinon ...
Et pour une densité p quelconque, je suis pommé.
Quelqu'un a une idée ?
Salut stokastik,
Es-tu sûr d'avoir bien appliqué l'inégalité de Jensen
Il me semble bien... Ici
on obtient:
qui permet de trouver le minimum (
Alors, dans ce cas particulier où p est l'indicatrice de [0,1]
Jensen avec la fonction -ln permet de trouver que le maximum
est également l'indicatrice de [0,1].
Dans le cas général d'une densité de probas, il y a de fortes chances
pour que le maximum soit donné également par f=p...
Je regarderai plus tard. Merci de ton intervention Cauchy !
De rien j'ai pas fait grand chose,quand on est à fond sur un truc ca arrive de passer à côté de quelque chose sans le voir
Salut stokastik,
Je n'ai pas le temps de le faire, mais je pense qu'on peut facilement généraliser l'inégalité de Jensen en mettant
la mesure " p(x)dx " au lieu " dx ".
(ce qui est assez interessant, au passage...)
Ainsi la solution f=p dans le cas général est immédiate.
C'est ça, non ?
A+
Je n'ai pas le temps de le faire, mais je pense qu'on peut facilement généraliser l'inégalité de Jensen en mettant
la mesure " p(x)dx " au lieu " dx ".
Ben bien sûr, moi j'ai toujours vu l'inégalité de Jensen ainsi puisque je l'ai vue en proba.
Question suivante : Répondre à la même question dans le cas où l'hypothèse sur f est (et pour p c'est toujours =1)
Salut Stokastik,
Ha ha ... tu compliques les choses de jour en jour !
Où vas-tu nous conduire ?
Bon, là je pense quand-même qu'il n'y a pas de maximum.
On le voit facilement avec ...
A moins que ne soit donnée, bien entendu.
Auquel cas c'est
Tu fais toujours des remarques pertinentes vendredi, merci 
En fait là c'est f qui est fixée on cherche p qui maximise, désolé je dis des bêtises. Tu as trouvé : p proportionnel à f
Suite :
Notons où
signifie l'espérance quand la loi de
est la loi continue
On peut définir de la même façon quand p et f sont non pas des densités mais des "fonctions de masses de probabilité", sur un ensemble dénombrable.
Comment définir pour
une mesure de probabilité et
une mesure positive, éventuellement quelconque ?
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