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Calcul diff

Posté par
Tiantio 07-05-22 à 10:59

Bonjour à tous

Exo : Soit \alpha \in IR tel que \alpha >1/2. On considère la fonction f définie par : f : (x,y) \in IR^{2} \rightarrow f(x,y) =|xy| ^{\alpha }.

1. Montrer que f est continue sur IR^{2}
2. Pour quels \alpha >\frac{1}{2}, f est de classe de C^{1}  sur  IR ^{2}

ce que j'aie fait :
1. Par les théorèmes généraux, f est continue car composée de deux fonctions continues f(x,y) = |x| et g(x,y) = (xy)^{\alpha }

2. f(x,y) = (xy)^{\alpha }  si  (x,y) \in IR_{+}^{2}  ou  IR_{-}^{2} sinon (-1)^{\alpha }(xy)^{\alpha }

si \alpha = 1, f'_{x}(0,0) n'existe pas
Pour les \alpha pairs f(x,y) est de classe C^1 car les D_{1}f et  D_{2}f existent et sont continues sur IR^2

Je voudrais si ce que j'aie fait, est bon ou pas
Merci pour vos réponses

Posté par
carpediemre : Calcul diff 07-05-22 à 13:21

salut

à dire vrai f est la composée de trois fonctions continues :

(x, y) --> xy --> |xy| --> |xy|^a

2/ en en les points (x, 0) ou (0, y) que se passe-t-il ?

Posté par
Tiantiore : Calcul diff 07-05-22 à 13:43

D'accord, merci
En les points (x,0) ou (0,y) f(x,y) = 0

Posté par
carpediemre : Calcul diff 07-05-22 à 14:07

certes mais la fonction y est-elle différentiable ?

Posté par
Tiantiore : Calcul diff 07-05-22 à 14:18

non, pas différentiable

Posté par
etniopalre : Calcul diff 08-05-22 à 07:51

Bonjour
   Concernant l'éventuelle différentiabilité de f en (0,0) :
       Les dp de f en (0,0) sont nulles .
    Si f est différentiable en (0,0) sa différentielle y est nulle .
Il reste donc à voir si c'est le cas  càd si f(x,y)/||(x,y) || tend vers 0 quand (x,y) tend vers (0,0) .
Or est supposé > 1/2 .

Posté par
Tiantiore : Calcul diff 08-05-22 à 09:55

bonjour,
\frac{f(x,y)}{||(x,y)||} = \frac{|xy| |xy|^{\alpha -1}}{\sqrt{x²+y²}} \leq \sqrt{x²+y²} |xy|^{\alpha -1} \rightarrow 0 pour \alpha \geq 1  et  (x,y) \rightarrow (0,0)

Posté par
Tiantiore : Calcul diff 08-05-22 à 09:57

(x²+y²)|xy|^(\alpha -1) plutôt

Posté par
etniopalre : Calcul diff 08-05-22 à 10:38

  f(x,y)/||(x,y) ||  =  |xy|a/(x² + y²)1/2  et comme  on a    2|xy|   x² + y²   on a aussi
  f(x,y)/||(x,y) ||    2-a (x² + y²)a-1/2  .
Et ceci prouve que   ... ?

Posté par
Tiantiore : Calcul diff 08-05-22 à 11:21

ceci prouve que f(x,y) tend vers 0 quand (x,y) tend vers (0,0)

Posté par
etniopalre : Calcul diff 08-05-22 à 14:03

    Il faut que tu revois sérieusement ton cours sur la différentibilité !!

Posté par
Tiantiore : Calcul diff 08-05-22 à 14:27

Ceci prouve que f(x,y) est continue en (0,0)

Compris je regarderai mon cours


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