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[calcul diff] majoration de norme
Salut à tous,
ca y est j'en ai fini avec l'analyse numérique et maintenant, je m'attaque au calcul diff :
Soit E un evn non réduit à {0} et soit F son dual topologique (espace des formes linéaires continues sur E, muni de la norme duale).
--> déja quelques petits problèmes de compréhension : "dual topologique"? "norme duale"? késako?
comment caractérise-t-on un dual topologique?
a) Montrer que l'application d'évaluation donnée par
est bilinéaire continue et majorer sa norme.
--> ici la bilinéarité est très facile et pour la continuité, je sais qu'il faut majorer sa norme sur la boule unité mais je ne vois pas trop comment faire ici.
b) On admet la conséquence suivante du théorème de Hahn-banach : .
calculer la norme de
--> ca doit découler de la première question..
c) soit l'application linéaire continue correspondant à
par l'isomorphisme
. décrire j. Retrouver la norme de
à l'aide de la norme de j.
--> là, je nage...
Merci d'avance pour vos réponse.
Salut,
comme tu le rappelles le dual topologique est l'ensemble des formes linéaires continues sur E,dans les espaces vectoriels de dimension finie on parle aussi de dual algébrique comme l'ensemble des formes linéaires sur cette espace la continuité découlant du fait qu'en dimension finie toute application linéaire est continue.
On munit cet espace de la norme duale qui est définie par:
Soit L une forme linéaire continue de E dans K alors:
c'est comme les normes subordonnées avec les matrices.
J'ai oublié de dire qu'on notait E' le dual de l'espace E.
Pour la premiere question,
on majore comme ceci:
salut cauchy,
merci pour ces petites explications (du coup tu vien de répondre a une question que j'ai posé dans un autre topic)
ceci vient du fait que f soit linéaire continue?
ah oui aussi une autre question : quand on me demande de montrer qu'une application de ce type là est continue, je fait toujours ce cette maniere (autrement dit est ce que ca marche toujours?)
Bien tu as du voir l'equivalence pour les applications linéaires entre continue,bornée sur la boule unité,il existe C tel que ||L(x)||<=C||x||.
On a la meme chose pour les applications bilinéaires mais il faut qu'il existe C tel que:
||b(x,y)||<=C||x|| ||y||
pour la b), j'ai trouvé : (avec les e et f donné par le théorème de hahn-banach) or dans la question a), on a
donc
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