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calcul différentiel
Salut 
On considère : f(x,y)=arctan(y/x) sur le demi-plan ouvert défini par x > 0
Montrer que f se prolonge continument au demi-plan fermé définie par privé du point (0,0)
Voici la correction :
On remarque : pour y >0 et
pour y < 0
On dit que cela ne saurait justifier l'exsitence d'une limite en un point (0,y_0) tel que
Il faut jusitifier la limite prise pour x > 0
Je ne vois pas pourquoi cela ne saurait justifier l'exsitence d'une limite en un point (0,y_0) tel que ? Est-ce parce que la limite dépend du signe de y ?
Merci
re
non, ça ne dépend pas du signe.
Il faut que la limite de f(x,y) en existe lorsque le couple (x,y) approche le couple
"de toutes les manières possibles".
Dans la remarque, on n'approche ce couple que selon une seule demi-droite : ce n'est pas suffisant.
C'est un peu la même chose que dire qu'une fonction de 2 variables continue par rapport à chacune de ses variables n'est pas forcément continue tout court.
Kaiser
J'essaie de résumer.
On veut montrer que existe avec
Là, on a approché le couple (0,y_0) par la demi-droite y>0 puis par la demi-droite y<0
On trouve deux limites différentes.
Mais n'y a-t-il pas alors contradiction avec l'unicité de la limite ?
Voilà c'est exactement ça mon point obscur !
Merci
je raconte nimp', y_0 est fixé...
Bref, kaiser, si tu pouvais me faire un petit résumé, je t'en serait très reconnaissant
En fait on se complique la vie pour rien, il suffit de se ramener à arg(x+iy) et c'est bouclé...mais bon je voudrai comprendre la méthode classique.
En fait si pouvais me répondre plutôt demain, car là il faut que je me concentre sur les anneaux ! (sinon j'vais reposer d'autres questions 
)
Merci pour ton aide en tout cas !
Pour prouver que la fonction est prolongeable par continuité en un certain avec
, il faut montrer que
existe.
Plus précisément, on veut montrer qu'il existe un réel a tel f(x,y) approche a lorsque le couple (x,y) approche le couple , quelle que soit la manière dont on approche ce couple.
Dans la remarque de l'exo, on a approché ce couple d'une seul façon : on l'a approché par la demi-droite ouverte . Ceci ne permet pas de conlure.
Voici un exemple frappant : on peut trouver une fonction f de 2 variables x et y non prolongeable par continuité en (0,0) telle que f(x,y) tende toujours vers la même valeur a lorsque x et y tend vers 0 selon n'importe quelle droite passant par (0,0) (il faut que j'essaie de remettre la main dessus).
Bref, la seule chose à faire est de former la différence entre f(x,y) et ce dont on pense être la limite et montrer que la différence tend vers 0 en majorant par quelque chose qui ne dépend que d'une seule chose (par exemple, la norme du couple (x,y-y_0), pour une norme bien choisie) et qui tend vers 0.
Kaiser
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