Bonsoir,

Traite séparément les 4 cas "x > 0, y > 0",  "x > 0, y < 0", etc et tu y verras déjà plus clair?

Bonsoir Guillaume10.
L'application que tu donnes est une norme sur . Et comme toute bonne norme, elle ne sera pas différentiable en .

Déjà, tu peux commencer par distinguer ce qu'il se passe sur où ta fonction prend des expressions simples et sera différentiable.

Ensuite, sur le complémentaire de O, ie l'ensemble , ça ne devrait pas être très compliqué de montrer la non différentiabilité de f.

Tu notes que tu peux limiter ton étude globale à l'ensemble en vertu des symétries de f.

Bonjour et merci pour vos réponses !

-LeHibou, ouais j'y vois plus clair du coup  je me place sur j'arrive pas à montrer que f est pas différentiable, faut montrer que la différentielle qu'on obtient est pas linéaire ?

Désolé c'est pas passé :

Je me place sur par symétrie,

et comment préciser que c'est un ouvert, je vois pas quelle application continue je peux utiliser comme image réciproque d'un ouvert.

jsvdb: du coup pour montrer que f est pas différentiable en (0,0) j'ai approché le couple par (x,x) et alors f coïncide avec la fonction valeur absolue sur cet ensemble (l'ensemble des (x,y) tels que x=y), et comme valeur absolue est pas dérivable en 0, f ne peut pas être différentiable en (0,0). Par contre quand je me place sur  , j'arrive pas à montrer qu'elle n'est pas différentiable, il s'agit de montrer que la différentielle si elle existe est pas linéaire ?

Soit a un réel > 0 . On a donc f(a,a) = a
  Si  x < a   on a :  ( f(x,a)  - f(a,a) )/(x - a) =   0 donc f(. , a)  est dérivable  à gauche de a et son nombre dérivé à gauche  est 0  .
  Si x > a   ,  ( f(x,a)  - f(a,a) )/(x - a) = (x  - a)/(x - a) = 1 donc  f(. , a)  est dérivable  à droite de a  et son nombre dérivé à droite en   est =  1 .
f (. , a) n'est  donc pas dérivable au point  a  .
Or si f était différentiable au point (a,a) , f (. , a)  le serait  ( dérivable au point  a ) .

Merci bien j'ai compris !