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calcul différentiel

Posté par
termina123 08-06-22 à 23:24

Bonsoir
Soit <. , .> un produit scalaire sur \mathbb{R}^n, soit a \in \mathbb{R}^n fixé, et soit f la fonction définie sur \mathbb{R}^n par : f(x) = ||x-a||^2 = <x-a , x-a>.
Pour x,u,v dans \mathbb{R}^n, calculer Df_{x}(u) et D^{2}f_{x}(u, v) en fonction de <. , .>.

Ce que j'ai fait :
On introduit les fonctions suivantes :
p:x\in \mathbb{R}^n \mapsto <x,x>\in \mathbb{R}
i:x\in \mathbb{R}^n \mapsto x-a \in \mathbb{R}^n
On a donc que f=p\; o\; i et pour x,u deux vecteurs de \mathbb{R}^n, Df_x (u)=Dp_{i(x)}\; o \; Di_{x} (u)

Pour Di_{x}, on écrit la matrice jacobienne de i en x et on trouve que c'est I_n et donc  Di_{x}(u)=u_1e_1 +...+u_n e_n\; (=u) avec (e_1, ..., e_n) la base canonique de \mathbb{R}^n

Pour Dp_{x}, on a p(x+u)=p(x)+2<x,u>+||u||^2 et donc Dp_{x}(u)=2<x,u>

Finalement,  Dp_{i(x)}\; o \; Di_{x} (u)=2<x,u>
Donc Df_x (u)=2<x,u> et D^{2} f_x (u,v)=2<v,u>. Est ce correct ?

Posté par
carpediemre : calcul différentiel 09-06-22 à 07:59

salut

ça me semble convenable ... mais bon on a simplement :

f(x) = <x - a | x - a>

f(x + u) = <x + u - a | x + u - a> = f(x) + 2<u | x - a> + <u | u>

donc finalement je dirai plutôt Dfx(u) = 2<u | x - a>


pour D2 j'aimerai bien savoir aussi ...  

mais il me semble qu'il faille calculer f(x + u + v) ...

Posté par
GBZMre : calcul différentiel 09-06-22 à 11:09

Bonjour,

Carpediem t'a corrigé pour Df_x.
Vu que x\mapsto Df_x est affine de partie linéaire x\mapsto 2\langle x, \cdot\rangle, sa différentielle D^2f est facile à trouver.

Posté par
termina123re : calcul différentiel 09-06-22 à 15:06

Bonjour à vous
L'erreur vient du fait que j'ai fait le calcul avec Dp_x au lieu de Dp_{i(x)}
On remarque que Df_x(u)=<x,u>-<a,u>, x\mapsto Df_x est affine et donc D^2 f_x(u,v) =2<u,v>

Posté par
GBZMre : calcul différentiel 09-06-22 à 20:32

OK.


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