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Calcul différentiel

Posté par
Dosto 25-07-23 à 18:06

Bonjour,

J'aurais besoin d'aide pour un exercice de calcul différentiel dont voici l'énoncé:

Soit\: g : \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}^{n} \: \textit{une fonction différentiable telle que:} \: \forall x \in \mathbb{R}^{n},||Dg(x)||\leq k \: \textit{avec } 0<k<1
\textit{On pose : } f(x)=x+g(x).
\textit{a) Montrer que g est contractante. En déduire que f est injective.}
\textit{b) Montrer que } ||f(x)||\rightarrow +\infty  \textit{ lorsque }||x||\rightarrow+\infty  
\textit{c) Montrer que f est surjective.}
\textit{d) Montrer que f est un difféomorphisme.}

Q. a) j'applique l'inégalité des accroissements finis pour montrer que g est contractante. L'injectivité de f suit par une inégalité de normes.
Q. b) je ne vois ni l'intérêt de la question dans l'exercice, ni l'inégalité de normes qui me permet de conclure??
Q. c) Application quasi directe du théorème du point fixe: ok
Q. d) Je suppose qu'il faut utiliser le théorème d'inversion locale. Mais je ne vois pas comment démontrer que Df(x) est bijective pour tout x.

Voilà, merci d'avance de votre aide pour les questions b) et d)

Bonne soirée à tous.

malou edit > merci de faire aperçu avant de poster, texte Ltx remis en forme

Posté par
lionel52re : Calcul différentiel 26-07-23 à 11:57

Hello, je cherche à comprendre ce que tu as fait à la c) ! Je vois pas comment tu conclus

Posté par
lionel52re : Calcul différentiel 26-07-23 à 12:00

Ah non c'est bon désolé.

Posté par Profil Shipzre : Calcul différentiel 31-07-23 à 20:19

Salut,

Pour la b), sauf erreur, tu peux utiliser le fait que \|x\|-\|y\| \le \|x+y\|.

Posté par
Dostore : Calcul différentiel 01-08-23 à 14:20

Oui merci,

[[f(x)|| = ||x+g(x)||\geq ||x||-||g(x)||=||x||-||g(x)-g(0)+g(0)||\geq ||x||-||g(x)-g(0)||-||g(0)||\geq |x||-k||x||-||g(0)|| =(1-k)||x||-||g(0)| \\

Posté par
MattZolotarevre : Calcul différentiel 19-08-23 à 23:58

Pour ta question d., :
Commençons par fixer x\in\mathbb{R}^n. Tu as \mathrm{d}f_x\in \mathcal{L}(\mathbb{R}^n). Comme tout endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension finie, \mathrm{d}f_x est surjective ssi elle est injective ssi elle est bijective.

Il suffit donc de montrer qu'elle est injective. Et pour ça, il suffit de montrer que son noyau est réduit à \{ 0\}.

Prenons a\in\ker(\mathrm{d}f_x). Tu sais que \mathrm{d}f_x=\mathrm{id}+\mathrm{d}g_x. A toi de justifier que si a est non nul, alors on a une contradiction sur la norme de \mathrm{d}g_x.

Pour rappel, \|\mathrm{d}g_x\|=\underset{a\in \mathbb{R}^n\setminus\{0\}}{\sup}\dfrac{\| \mathrm{d}g_x(a)\|}{\|a\|}.
(Pour rappel encore une fois les \|.\| à gauche et à droite de l'égalité n'ont pas la même signification : c'est un abus d'écriture et j'espère que tu en as conscience !)


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