Inscription / Connexion Nouveau Sujet
calcul différentiel et fonctions homogènes
Bonjour à tous,
J'ai un devoir à rendre mais je bloque sur un exercice. J'aurai besoin de votre aide:
On a une fonction 
de 
N dans et p un entier naturel non nul. On dit que est homogène de degré p ssi:
(
,x) 
*N, (x) =p(x).
1)Donner un exemple de fonction homogène de degrés 3 lorque N=3.
Pour cela j'ai pris (X)= X3.
Es-ce correcte?
Merci
Bonjour thetoto,
non c'est faux car l'espace de départ étant de dimension 3, ton X est un vecteur à 3 coordonnées, donc X3 n'a pas de sens!
Il te faut un truc du genre:
, avec x,y, z réels
Alors par définition,
donc tout marche bien.
Oui merci je comprend.
Ensuite on suppose que , homogène de degré p est différentiable en x0. Il faut alors montrer que :
D (x0).x0 = p(x0).
Je ne vois pas par ou commencer?
Ecris la définition du fait que est homogène en prenant x=x0,
puis dérive cette relation par rapport à
Puis choisis ,larelation tombera d'elle-même.
Tigweg
PS: je dois y aller, je laisse la relève.
Tigweg
Ok Merci. J'arrive au bon résultat en prenant =1 .
Mais pourquoi a-ton le droit de choisir =1 ?
ok je vois. Et réciproquement, sachant que x N (x).x = p (x), Comment prouver que est homogène?
Je t'en prie.
Fixons x.
Pour tout tu peux écrire l'égalité précédente en remplaçant x par
.
Appelle alors f la fonction de dans
définie par :
.
Essaie d'exprimer à partir de
, puis déduis-en que
est une fonction constante de
.
Tigweg
tu as des exercices de calcul diff bien!
tu es en 3ème année ?
on a la relation :
f(k(x+h))=kpf(x+h)
je vois pas comment poursuivre pour la différentiabilité
Bonsoir à tous
Oui bien sûr H_aldnoer!
Dès que x est fixé et que varie, tu obtiens une fonction de
.
Tu n'as plus alors qu'à appliquer la règle de différentiation des fonctions composées (ou encore "chain rule" dans ce cas précis).
J'ai pas compris la règle de différentiation des fonctions composées, c'est quoi ?
D(f(kx0)).h=D(f(kx0)).[ D(kx0).h ]
?
Non c'est plutôt:
D(f(kx0))(k0).h = [Df(k0x0) o D( k-> kx0)(k0)].h
indice
où la variable est k!
Après le o, ça fait donc k0hx0.
Il faut que tu remplaces le premier point par un o:
la différentielle de la composée en un point, c'est la composée de deux applications linéaires.
Ok mais c'est une notation dangereuse, qui signifie ce que j'ai marqué.
Ce n'est pas un produit!
La différentielle de f en g(x) c'est une application linéaire, pas un nombre!
Celle de g en x aussi.Comment fais-tu le "produit" de deux applications linéaires?
On a l'égalité :
f(kx0)=kpf(x0)
On vient de calculer :
D f(kx0).h
On calcule :
D kpf(x0).h
mais je vois pas comment composer des applications pour avoir kpf(x0) !
on prend ?
Non non, en fait on écrit la différentielle de chaque membre de l'égalité au point k, prise en h.
Ca donne, en se rappelant du fait que la différentielle en k d'une application u de R dans R, prise en h, vaut u'(k).h:
Df(kx)(hx)=pkp-1f(x).h
d'où par linéarité de l'application linéaire Df(kx) et comme h est réel:
h.Df(kx)(x)=pkp-1f(x).h.
C'est vrai pour tout h donc on peut simplifier par h.
Enfin c'est vrai pour tout k, en particulier pour k=1 on trouve:
Df(x)(x)=pf(x).
En faite l'application u de R dans R dont tu parle dans ton message de 13:40 c'est l'application h dont je parle dans mon message de 13:31 ?
Je t'en pris Greg, va jeter un coup d'oeil au topic de Kévin, notre seconde partie attendra 
Celle-ci est perdue pour moi 
Kuider.
Annuler
connectez vous
analyse en post-bac