J'ai du mal à résoudre cet exercice:
Soit A->A^3, avec A une matrice carré n*n.
Montrer que cette application est dérivable sur les matrices carrés n*n, calculer sa dérivée (taux d'accroissement, j'y arrive).Puis montrer que cette apllication est de classe C1 et C2.
Je ne sait pas comment montrer que c'est C1 et C2.
Merci beaucoup
Bonjour
La méthode la plus simple, c'est de dire que les coefficients sont polynômiaux, donc de classe C
Tu peux aussi dire que ton application (je l'appelle f) est la composée de définie par
et de
définie par
. On a
et
est linéaire, et
trilinéaire, donc toutes les deux C
.
As-tu bien trouvé
f'(A)(H)=HA2+AHA+HA2 ?
Si oui, tu peux aussi continuer à dériver...
Merci Camelia,
En faite, j'ai bien trouver f'(A)(H)=HA²+AHA+HA², et pour montrer que f est bien de classe C1, j'aimerai proceder comme suit:
lim(quand A tend vers B) ||f'(A)(H)-f'(B)(H)|| mais je n'y parvient pas.
Ainsi, j'aurai voulu montrer que f' soit lipschitzienne mais je n'y arrive pas à causse du A² et du B²
Comment faire?
Merci beaucoup
Je continue à dire que le mieux c'est de passer par des composées. F' est composée d'une bilinéaire et d'une linéaire.
Mais si tu y tiens... en utilisant simplement le fait que pour des matrices ||MN||||M|| ||N|| on a
donc
d'où on tire la continuité en A en bornant ||A+B||.
Merci beaucoup Camelia
Comment dois-je majorer ||A+B||? Je dois en faite dire que ||B|| < M, (en passant à la limite) mais pourquoi ai-je droit de l'affirmer.
Cela signifie donc que f' est k-ipschitzienne?
Merci
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