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calcul différentiel L3

Posté par
davids78
25-12-07 à 12:31

J'ai du mal à résoudre cet exercice:

Soit A->A^3, avec A une matrice carré n*n.
Montrer que cette application est dérivable sur les matrices carrés n*n, calculer sa dérivée (taux d'accroissement, j'y arrive).Puis montrer que cette apllication est de classe C1 et C2.
Je ne sait pas comment montrer que c'est C1 et C2.
Merci beaucoup

Posté par
Camélia Correcteur
re : calcul différentiel L3 25-12-07 à 15:56

Bonjour

La méthode la plus simple, c'est de dire que les coefficients sont polynômiaux, donc de classe C

Tu peux aussi dire que ton application (je l'appelle f) est la composée de \mu:(M_n)^3\to (M_n) définie par \mu(A_1,A_2,A_3)=A_1A_2A_3 et de \delta:M_n\to (M_n)^3 définie par \delta(A)=(A,A,A). On a f=\mu\circle \delta et est linéaire, et trilinéaire, donc toutes les deux C.

As-tu bien trouvé
f'(A)(H)=HA2+AHA+HA2 ?
Si oui, tu peux aussi continuer à dériver...

Posté par
Camélia Correcteur
re : calcul différentiel L3 25-12-07 à 15:57

Erratum: \mu:(M_n)^3\to M_n

Posté par
Camélia Correcteur
re : calcul différentiel L3 25-12-07 à 15:58

\mu: (M_n)^3\to M_n

Posté par
davids78
re 25-12-07 à 18:29

Merci Camelia,
En faite, j'ai bien trouver f'(A)(H)=HA²+AHA+HA², et pour montrer que f est bien de classe C1, j'aimerai proceder comme suit:
  lim(quand A tend vers B) ||f'(A)(H)-f'(B)(H)|| mais je n'y parvient pas.
Ainsi, j'aurai voulu montrer que f' soit lipschitzienne mais je n'y arrive pas à causse du A² et du B²
Comment faire?

Merci beaucoup

Posté par
flor
vrai 25-12-07 à 21:18

C'est exact

Posté par
davids78
re 26-12-07 à 10:43

Comment dois-je faire alors??
Merci

Posté par
Camélia Correcteur
re : calcul différentiel L3 26-12-07 à 15:28

Je continue à dire que le mieux c'est de passer par des composées. F' est composée d'une bilinéaire et d'une linéaire.

Mais si tu y tiens... en utilisant simplement le fait que pour des matrices ||MN||||M|| ||N|| on a

||f'(A)(H)-f'(B)(H)||\leq 3||A^2-B^2||\ ||H||\leq 3||A+B||\ ||A-B||\ ||H||

donc

||f'(A)-f'(B)||\leq 3||A+B||\ ||A-B||

d'où on tire la continuité en A en bornant ||A+B||.

Posté par
davids78
re 26-12-07 à 20:14

Merci beaucoup Camelia

Comment dois-je majorer ||A+B||?  Je dois en faite dire que ||B|| < M, (en passant à la limite) mais pourquoi ai-je droit de l'affirmer.

Cela signifie donc que f' est k-ipschitzienne?

Merci

Posté par
Camélia Correcteur
re : calcul différentiel L3 27-12-07 à 14:49

Non, f' n'est pas lipschitzienne, elle est localement lipschitzienne. En prenant, par exemple, ||B-A|| 1, on a ||A+B||||A||+1 et ceci montre que f' est (||A||+1)-lipschitzienne sur la boule de centre A et de rayon 1, ce qui suffit pour montrer sa continuité en A.



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