Bonjour Cosmoff,
dl = R.d(theta).cos(Theta), d'où,
dv = Pi.R^3.cos^3(Theta).d(Theta
D'où le même résultat qu'avec dy

Sauf distraction..

Cordialement

Vertigo

merci pour ta réponse Vertigo,

pour moi tu as calculé dy et non dl,
pour moi dy =   R.cos(Theta).d(theta)
et dl = R.d(theta)

pour trouver les valeurs de x et y j'utilise pythagore, puis ensuite je fais dx/d(theta) et dy/d(theta) ce qui me permet d'avoir dx et dy et ensuite j'obtiens dl = rac(dx² + dy²)

R.d(Theta) est un segment de longueur infinitésimale, et de direction normale à R.
Pour calculer le volume infinitésimal dv, il faut multiplier l'aire Pi.R^2.cos^2(Theta) par la projection du segment R.d(Theta) sur l'axe oy, projection qui a bien pour expression :  bien dl=R.d(Theta).cos(Theta)

Il faudrait faire une belle figure pour l'objectiver. Si le désaccord persiste, je prendrai le temps de la mettre en ligne (ça n'est pas très commode sur ce forum)
Ensuite, il faut intégrer un sin^3(theta), et on retrouve bien le volume de la sphère V = 4/3.Pi.R^3

Sauf étourderie..

Cordialement

Vertigo

pour moi R.d(Theta).cos(Theta)  est de direction normale à R.  R.d(Theta) peut etre représenté par la projection en dy = R.d(Theta).cos(Theta) et dx = -R.d(Theta).sin(Theta).

D'ailleurs dans le calcul de la surface en prend bien pour la projection du segment R.d(Theta).

Je coince sur quelque chose de simple peut etre mais je n'arrive pas à comprendre pourquoi dans le calcul de la surface d'une sphere R.d(Theta) convient et que ca ne marche plus sur le volume d'une sphere

Voyons :
Pour calculer votre volume élémentaire dv ( de forme sensiblement discoïdale), il faut bien multiplier l'aire de ce quasi-disque Pi.R^2.cos^2(Theta) par son "épaisseur" infinitésimale dl.
En réflechissant bien, vous verrez que cette "épaisseur" dl (qu'on peut aussi appeler dy) a bien pour expression R.d(Theta).cos(Theta).
D'où dv = Pi.R^3.cos^3(theta).d(Theta).
Il faut ensuite intégrer un cos^3(Theta) pour retrouver la  formule du volume total 4/3.Pi.R^3

Je vous transmettrai une figure d'ici demain (pas le temps dans l'immédiat).

Cordialement.

Vertigo

alors je suis tout a fait d'accord, mais ce qui me pose probleme c'est pourquoi je dois prendre dans le cas du calcul de la surface d'une sphere R.d(Theta) qui représente dl et dans le cas du calcul du volume R.d(Theta).cos(Theta) qui correspond à dy.  

De plus dans le cas du calcule du volume d'une sphere le fait de prendre R.d(Theta) donne une meilleur précision car on prend des trancons obliques qui donc sont plus proches de la courbure de la sphere alors que prendre R.d(Theta).cos(Theta) donne des trancons cylindrique

Dans le cas du calcul de l'aire de la sphère, vos aires élémentaires sont des quasi "anneaux" de circonférence 2.Pi.R.cos(Theta), et dont la seconde dimension (qu'on pourrait appeler la "largeur" de l'anneau) vaut bien R.d(Theta), indépendante de Theta.
L'aire élémentaire ds vaut donc bien :
ds = 2.Pi.R^2.cos(Theta).d(Theta),
qu'il est extrêmement facile d'intégrer de 0 à Pi/2 pour obtenir l'aire de la demi-sphère de rayon R.
Dans le cas du calcul du volume, les volumes élémentaires dv "empilés" les uns sur les autres, peuvent être  assimilés à des cylindres dont la base a pour aire Pi.R^2.cos^2(Theta), et la génératrice élémentaire de ces cylindres infiniment aplatis vaut bien R.d(Theta).cos(Theta) d'où :
dv = Pi.R^3.cos^3(theta).d(Theta)
Comme déjà mentionné.
L'intégration de 0 à Pi/2 de ce cos^3(Theta) (plus délicate que dans le cas du calcul de l'aire de la sphère, conduit bien à la formule V = 2/3.Pi.R^3 pour le volume de la demi-sphère de rayon R.

Si on prenait R.d(Theta) comme génératrice des "cylindres élémentaires", on commettrait une erreur par excès très considérable (faites l'intégration, vous verrez)
Cordialement

Vertigo

merci vertigo pour ta réponse. Je tiens a préciser que j'ai déja fait les calcules et observé que ca marchait dans le cas ou la largeur infinitésimale était bien choisi. Mais je bloque sur comment choisir la largeur infinitésimale.

Lors du calcul de la surface, si je prend comme largeur infinitésimale R.d(Theta).cos(Theta) ca ne va pas marcher, mais je comprend pas pourquoi cette largeur infinitésimale R.d(Theta).cos(Theta) va marcher lors du calcul du volume d'un point de vue théorique.

En gros je ne sais pas pourquoi il faut changer le choix de la largeur infinitésimale quand on passe du calcul de la surface au volume.

Bonjour !
Comme tu veux empiler des cylindres, par des coupes orthogonales à la méthode "normale" consiste à intégrer selon les .
Ta découpe selon les met en place des figures bien compliquées, genre soustraction de cônes.

Alors, pourquoi le ne "semble pas marcher" pour le calcul de la surface ?
Eh bien, du point de vue surfacique, tes coupes s'obtiennent par des rotations de trapèzes (approximatifs) et la surface engendrée par le "côté oblique" doit tenir compte du rayon  (ici ) et de la longueur de ce côté oblique qui n'est pas mais doit être corrigée selon la pente (je parle de manière approchée) de cette partie "oblique". En fait tu retrouves bien la longueur d'arc que tu as utilisée.

En revanche, le volume engendré par ta coupe est bien .

d'accord, mais alors je pourrais tres bien prendre pour le calcul du volume d'une sphere une largeur oblique comme dans le cas de la surface. Or si je fais ca, ca ne marche pas.

Bonjour,
L'explication de Luzac complète bien les miennes.
Voici, comme annoncé, une figure, pas parfaite, mais qui, je l'espère, clarifiera un peu le problème dans l'esprit de Cosmoff.
Sur cette figure, l'angle DM'M est égal à l'angle Theta, car ces 2 angles ont leurs côtés perpendiculaires deux à deux.
Dans le triangle rectangle MDM' (rectangle en D), on a bien cos(Theta) = M'D / M'M
d'où M'D = dy = M'M.cos(Theta) = dl.cos(Theta)
Il est trivialement évident que l' »épaisseur » des quasi-disques empilés est la mesure du segment M'D = dy = dl.cos(Theta) = R.d(Theta).cos(Theta)
Le volume élémentaire de chacun de ces « quasi-disques » est donc bien :
dv = Pi.R^3.cos^3(theta).d(Theta)

Incidemment, il n'y a pas lieu de faire appel à Pythagore, la trigo suffisant à la résolution complète du Pb.

À noter aussi qu'on retrouve la même problématique dans le calcul de la surface d'un cercle par les intégrales. C'est la même figure avec la dimension « profondeur » en moins.
L'aire d'un demi-cercle est décomposée en somme intégrale continue des aires d'une infinité de quasi-trapèzes de base R.cos(Theta) et de hauteur dh=R.d(Theta).cos(Theta).
La surface élémentaire de chacun de ces  quasi-trapèzes vaut :
ds = R.cos(Theta).R.d(Theta).cos(Theta) = R².cos^2(Theta).d(Theta)
Enfin il y a d'autres méthodes permettant de décomposer le volume d'une sphère en une infinité de volumes élémentaires dont l'intégrale permet aussi de retrouver la formule classique de ce volume.

Sauf distraction..
Cordialement

Vertigo

merci vertigo pour ta réponse.

Je suis d'accord pour ton calcul du volume mais je pense que tu t'es emmêler les pinceaux pour la surface.
tu voulais je pense mettre comme largeur infinitésimale dh =R.d(theta) et non dh=R.d(theta).cos(theta).

mon probleme est que ne comprend pas pourquoi dans le volume tu utilises un dh purement verticale alors que pour le calcule de la surface ton dh est un trapeze. On peut tres bien calculer le volume d'une sphere avec une somme de disque*trapeze, non ?

Non, je confirme, pour le calcul de la surface du cercle par les intégrales, on a bien :
(voir figure ci-après et le calcul qui y figure)
Cordlt
Vertigo

Et pour l'aire de la surface sphérique, on a :
(Fig ci-après et son calcul)

Cordlt
Vertigo

cosmoff, tu pourrais consulter, par Google, Aire d'une sphère par intégration / sphère-Gérard Villemin .

ok j'ai compris avec ton message luzak.

Merci à tous !