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Niveau Maths sup
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calcul et méthode numérique

Posté par
greenpurple
04-03-23 à 19:42

salut
soit x0.... Xn (n+1) réels et f : R--->R une fonction , j'aimerais savoir la condition nécessaire pour qu'il existe un polynome P dans Rn[X] tel que P(Xi) = f(Xi) ∀ i∈ {0,1......n}

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : calcul et méthode numérique 04-03-23 à 20:42

Bonsoir,
"la condition nécessaire" : on peut certainement en trouver plusieurs.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : calcul et méthode numérique 04-03-23 à 20:48

Ou aucune.
Dans quel contexte te poses-tu cette question ?

Posté par
Ulmiere
re : calcul et méthode numérique 04-03-23 à 20:50

Je n'ai jamais compris l'intérêt de ce genre d'exercice qui demandent de trouver des conditions sans aucun contexte.

A ce compte là, tu peux répondre que P est une condition nécessaire pour P, pour tout P.
Ou alors donner des conditions bidesques comme

\exists P\in\R_{n+1}[X] : \forall i\in\{0,\dots,n\}, P(x_i) = f(x_i)

où tu remplaces \R_n par n'importe quel ensemble le contenant

Posté par
jeanseb
re : calcul et méthode numérique 04-03-23 à 21:05

Bonsoir

Il me semble que ça marche toujours, non?

Si les xk sont tous différents, le polynôme d'interpolation de Lagrange est de degré n, si certains sont égaux on forme un polynôme avec les xk différents , qui sera de degré inférieur à n.

Je dirais qu'il n'y a pas de condition nécessaire.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : calcul et méthode numérique 04-03-23 à 21:10

@jeanseb,
C'est ce à quoi je pensais en répondant "Ou aucune"

Posté par
greenpurple
re : calcul et méthode numérique 04-03-23 à 23:21

d'accord merci pour vos réponses

Posté par
Ulmiere
re : calcul et méthode numérique 04-03-23 à 23:50

Ça marche mais n'oublie pas que cette solution n'est pas forcément optimale en degré.
Par exemple si f est la fonction carré, le polynome P optimal est X^2, de degré 2, même s'il y a plus de deux xk distincts où P est connu.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : calcul et méthode numérique 05-03-23 à 07:57

Si, si !
Je rectifie le message de jeanseb :

Citation :
Si les xk sont tous différents, le polynôme d'interpolation de Lagrange est de degré inférieur ou égal à n,

Rappel :
Deux polynômes de degré inférieur ou égal à n qui ont au moins n+1 zéros communs sont égaux.

Un exemple dans le contexte du sujet :
f(x) = x avec x0 = 1, x1 = 2 et x2 = 3.
Le polynôme obtenu est bien x.

Posté par
jeanseb
re : calcul et méthode numérique 05-03-23 à 15:23

Je n'ai pas compris

Sylvieg @ 04-03-2023 à 20:42

Bonsoir,
"la condition nécessaire" : on peut certainement en trouver plusieurs.

Sylvieg @ 04-03-2023 à 20:48

Ou aucune.
Dans quel contexte te poses-tu cette question ?


J'ai compris:" on peut certainement en trouver plusieurs,ou aucune"

J'ai répondu que la deuxième proposition était toujours vraie.

Je plaide coupable pour la citation du théorème, que j'avais pourtant sous les yeux



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