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calcul intégral

Posté par
stokastik 13-04-07 à 09:36

Bonjour,

Quelqu'un a une méthode pour calculer les intégrales du type \int \frac{1}{\sqrt{ax+bx^2}}dx ?

Je pense qu'on peut mettre l'intégrande sous la forme \frac{k}{\sqrt{\big(\frac{x+\alpha}{\beta}\big)^2\pm 1}} et après on utilise arcsin ou je ne sais plus quoi ?

Posté par vendredi (invité)re : calcul intégral 13-04-07 à 10:03

Bonjour stokastic

Oui c'est ça: ensuite on fait un changement de variable avec
sin,cos,sh,ch    suivant les cas.

A+

Posté par
stokastikre : calcul intégral 13-04-07 à 10:52

Mon cas est \frac{k}{\sqrt{\big(\frac{x+\alpha}{\beta}\big)^2-1}} avec x qui parcourt \mathhb{R}, je dois poser quoi là ?

Posté par
stokastikre : calcul intégral 13-04-07 à 10:53

... qui parcourt \mathbb{R}

Posté par
lyonnaisre : calcul intégral 13-04-07 à 10:55

Bonjour

Tu as deux formules :

cos² + sin² = 1  (2)

ch² - sh² = 1   (2)

Tu veux avoir une puissance de ² positive en dessous la racine.

Donc tu prends la seconde relation et tu poses donc :

ch(u) = (x+)/

(sauf erreurs ... )

Romain

Posté par
J-P Posteur d'énigmesre : calcul intégral 13-04-07 à 10:56

Oui, enfin c'est cela, ca dépend.

Cela dépend des signes de a et b.

Par exemple : a et b > 0.


V(ax+bx²) = V(b(x²+xa/b)) = V(b(x - (a/(2b))² - (a²/(4b²)))

Poser x - (a/(2b) = (a/2b)*t
dx = (a/(2b)) dt


V(ax+bx²) = V(b((a²/(4b²)).(t²-1)

V(ax+bx²) = V(a²/(4b).(t²-1))

S (1/V(ax+bx²)) dx = 2(a/(2b)) S V((b/a²)(t²-1)) dt

S (1/V(ax+bx²)) dx = 2(a/(2b))V((b/a²) S V(t²-1) dt

S (1/V(ax+bx²)) dx = V(1/b). S V(t²-1) dt

S (1/V(ax+bx²)) dx = V(1/b).ln(abs((V((t-1)/(t+1))+1)/(V((t-1)/(t+1))-1)))

Avec t = (2bx-a)/a

S (1/V(ax+bx²)) dx = V(1/b).ln(abs((V((((2bx-a)/a)-1)/(((2bx-a)/a)+1))+1)/(V((((2bx-a)/a)-1)/(((2bx-a)/a)+1))-1)))

Que je te laisse simplifier.
-----
Si les signes de a et b ne sont pas positifs tous les 2, alors, c'est tout à fait différent.

On peut arriver à des arcsin ou autre ...

-----
Sauf distraction.  

Posté par
stokastikre : calcul intégral 13-04-07 à 10:58

pardon!! qui parcourt \mathbb{R}^+.

Donc c'est sh(u)=\frac{x+\alpha}{\beta} ?

Posté par
lyonnaisre : calcul intégral 13-04-07 à 11:02

cf mon post de 10:55

Posté par
stokastikre : calcul intégral 13-04-07 à 11:03

Mais oui JP a raison c'est à cela que je pensais de loin au début, pourquoi changer de variables avec ch ou sh ?

Et on ne peut pas poser cos(u)=... ou sin(u)=... pour cela il faudrait intégrer sur un intervalle non quelconque

Posté par
J-P Posteur d'énigmesre : calcul intégral 13-04-07 à 11:13

Attention, sans y avoir vraiment réfléchi, je pense qu'il faut scinder les cas pour les signes de a et b.

J'ai traité a et b > 0

Mais il faut faire les autres.

Posté par
stokastikre : calcul intégral 13-04-07 à 12:23

Oui oui mon cas est bien a>0 et b>0

Posté par
lyonnaisre : calcul intégral 13-04-07 à 18:59

>> stokastik :

Pour te prouver que la méthode marche.

Je suppose a et b > 0 (vu que c'est le cas que tu veux traiter)

Si j'ai bien compris on veut calculer :

\Large{\fbox{\Bigint_{0}^{+\infty} \frac{k}{\sqrt{(\frac{x+a}{b})^2-1}} dx = \lim_{X\to +\infty} \Bigint_{0}^{X} \frac{k}{\sqrt{(\frac{x+a}{b})^2-1}} dx}

Pour cela on pose :

\rm \Large{\frac{x+a}{b}=ch(u)     soit encore       \Large{x = b.ch(u)-a

On a donc :

\Large{dx=b.sh(u)du

Et en justifiant le changement de variable, on obtient donc :

\Large{\Bigint_{0}^{X} \frac{k}{\sqrt{(\frac{x+a}{b})^2-1}} dx = \Bigint_{argch(\frac{a}{b})}^{argch(\frac{X+a}{b})} \frac{k.b.sh(u)}{\sqrt{ch^2(u)-1}} du = = \Bigint_{argch(\frac{a}{b})}^{argch(\frac{X+a}{b})} \frac{k.b.sh(u)}{\sqrt{sh^2(u)}} du = = \Bigint_{argch(\frac{a}{b})}^{argch(\frac{X+a}{b})} k.b du = k.b[argch(\frac{X+a}{b})-argch(\frac{a}{b})]

Si tu veux enlever les argch, on a :

\Large{argch(x) = ln(x+\sqrt{x^2-1})

D'où au final, j'otiens :

\Large{\fbox{\Bigint_{0}^{+\infty} \frac{k}{\sqrt{(\frac{x+a}{b})^2-1}} dx = \lim_{X\to +\infty} \Bigint_{0}^{X} \frac{k}{\sqrt{(\frac{x+a}{b})^2-1}} dx= signe(k).\infty}

( à vérifier :D )

A+
Romain

Posté par
anonymere : calcul intégral 13-04-07 à 19:28

en fait en factorisant, ax+bx² = b(x+a/2b)²-a²/4b (il faut bien sûr spécifier le domaine de définition), cela me fait penser à la dérivée d'arcsin à une constante multiplicative près ! Donc je crois qu'on peut éviter le changement de variable ...

Posté par
stokastikre : calcul intégral 13-04-07 à 19:36

Y'a un problème lyonnais, l'intégrale de départ est finie.

Posté par
kaiser Moderateurre : calcul intégral 13-04-07 à 19:41

Bonjour à tous

je m'incruste !

Stokastik > je crois bien que non : la fonction que l'on intègre est équivalente à \Large{\frac{1}{x}} en l'infini, non ?

Kaiser

Posté par
kaiser Moderateurre : calcul intégral 13-04-07 à 19:43

bref, es-tu sûr que c'est bien sur \Large{\mathbb{R}} tout entier que l'on intègre ?

Kaiser

Posté par
stokastikre : calcul intégral 13-04-07 à 19:57

Salut kaiser,

Tu as raison. J'ai déliré. J'y réfléchirai après ce week-end. Ce week-end c'est détente pour moi

Bon week à tous.

Posté par
kaiser Moderateurre : calcul intégral 13-04-07 à 19:59

Dans ce cas, bon week end et bonne détente !

Kaiser

Posté par
J-P Posteur d'énigmesre : calcul intégral 14-04-07 à 09:15

lyonnais,

\frac{k}{\sqrt{\big(\frac{x+a}{b}\big)^2- 1}}

n'existe pas sur R*+ quels que soient a et b > 0

En effet, si 0 < a < b, la quantité sous le signe radical est <= 0 pour x dans ]0 ; b-a], donc pas question d'intégrer dans ce domaine. Il y a donc bien un os.

Posté par
lyonnaisre : calcul intégral 14-04-07 à 09:26

Je suis d'accord J_B, d'où mon intérogation !

J'ai justement fait le calcul pour montrer qu'on ne peux pas intégrer sur tout R+* et qu'il y a donc un problème dans l'énoncé.

Je voulais juste mettre en évidence une primitive, peut-être plus compacte que la tienne, c'est tout ...

Mais comme le dis Kaiser, dès le départ, on voit que la fonction intégrée est équivalente un 1/x en l'infini d'où le problème.

A+ sur l'

Posté par
J-P Posteur d'énigmesre : calcul intégral 14-04-07 à 10:15

J'écris en un peu moins embrouillé mon approche.

\int\frac{dx}{\sqrt{ax+bx^2}}

\sqrt{ax+bx^2} = \sqrt{b[(x+\frac{a}{2b})^2 - \frac{a^2}{4b^2}]}

Poser x + \frac{a}{2b} = \frac{a}{2b}t
dx = \frac{a}{2b}\ dt

\sqrt{ax+bx^2} = \frac{a}{2\sqrt{b}}\sqrt{t^2-1}

\int\frac{dx}{\sqrt{ax+bx^2}} = \frac{1}{\sqrt{b}}\int\frac{dt}{\sqrt{t^2-1}}

\int\frac{dx}{\sqrt{ax+bx^2}} = \frac{1}{\sqrt{b}}ln|\frac{\sqrt{\frac{t-1}{t+1}}+1}{\sqrt{\frac{t-1}{t+1}}-1}|

\int_{X_1}^{X_2}\frac{dx}{\sqrt{ax+bx^2}} = [\frac{1}{\sqrt{b}}ln|\frac{\sqrt{\frac{t-1}{t+1}}+1}{\sqrt{\frac{t-1}{t+1}}-1}|]_{1+\frac{2b}{a}X_1}^{1+\frac{2b}{a}X_2}

Et c'est valable quels que soient a et b > 0 et pour tout X1 et X2 > 0
-----
Sauf distraction.

Posté par
J-P Posteur d'énigmesre : calcul intégral 14-04-07 à 10:19

Salut lyonnais,

Je n'avais pas vu ton message précédent en envoyant le mien.

Pour moi, le problème est toujours possible dans R*+ avec a et b positifs quelconques comme montré ci-dessus.

Posté par
J-P Posteur d'énigmesre : calcul intégral 14-04-07 à 10:27

J'aurais même du écrire:

Le problème est toujours possible dans R+ avec a et b positifs quelconques, car X = 0 ne pose pas de problème.


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