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Calcul intégral

Posté par
TJF 27-07-20 à 21:38

Salut, j'ai eu des difficultés pour résoudre l'exercice suivant:

Soit F(x) = \int_{-\pi }^{\pi }{\ln (1 + x^2 - 2x\cos \theta) d\theta }.
1. Montrer que F est continue et dérivable sur l'intervalle \left] -1; +1\right[ .
2. Calculer F' sur l'intervalle \left] -1; +1\right[ . ( on pourra effectuer le changement de variable t = \tan \frac{\theta}{2}).
3. En déduire F sur l'intervalle \left] -1; +1\right[ .

Au niveau de la continuité, je n'arrive pas à bien borner la fonction de f(x,t) = \ln (1 + x^2 - 2x\cos \theta) en utilisant l'argument de saturation.

Merci d'avance.

Posté par
verdurinre : Calcul intégral 27-07-20 à 22:04

Bonsoir,
1 + x^2 - 2x\cos \theta est entre 1 + x^2 - 2x et 1 + x^2 + 2x

Posté par
TJFre : Calcul intégral 28-07-20 à 14:34

Salut! Merci. Dans le théorème énoncé dans le cours il faut chercher à borner la fonction \lvert f(x, \theta)\rvert . Comment faire pour la borner?

Posté par
Zrunre : Calcul intégral 28-07-20 à 15:08

Sur ]-1,1[ , ça ne devrait pas être trop dur de borner f(x,\theta) par une constante indépendante de x ...

Posté par
Zrunre : Calcul intégral 28-07-20 à 15:09

Edit : Sur [0,a] avec |a|<1 plutôt

Posté par
TJFre : Calcul intégral 28-07-20 à 15:17

Ok, merci!! J'ai un soucis le cas \left[-a, 0 \right].

Posté par
Zrunre : Calcul intégral 28-07-20 à 15:24

Que se passe-t-il si on fait le changement de variable u=\pi-\theta ?

Posté par
XZ19re : Calcul intégral 28-07-20 à 15:30

Tu peux regarder ici la même question a été posée.

Posté par
verdurinre : Calcul intégral 28-07-20 à 18:02

Bonsoir,
on peut aussi remarquer que

1 + x^2 - 2x\cos \theta =(x-\cos \theta)^2+\sin^2\theta

et que si \sin\theta=0 alors x-\cos \theta\neq 0


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