Bonjour, j'ai un dm de mathématiques sur les intégrales, et j'ai du mal à le faire. Est ce que quelqu'un pourrait m'aider svp ?
Objectif : :Calcul de l'approximation numérique d'une intégrale par les méthodes des rectangles,
des trapèzes et des points milieux.
Soient les deux fonctions réelles définies par f(t) = −2t + 5 et g(x) = 3
x
.
1. Calculer les deux intégrales I et J suivantes :
I = ∫
2
1
f(t)dt et J = ∫
2
1
g(x)dx Rappel : 3
^x = e
^xln(3)
Pour le réel J, vous donnerez la valeur exacte et la valeur approchées au dix millionième.
2. Méthode des rectangles :
Les aires Af et Ag sont délimitées par l'axe des abscisses, les droites d'équations x = 1 et x = 2, et respecti-
vement la courbe représentative de la fonction f ou g. L'intervalle fermé [1; 2] est séparé en n subdivisions
de largeur 1
n
. Les aires Af et Ag sont approchées par les suites de nombres définies sur N
∗
:
sn =
1/
n
n−1
∑
k=0
f(1 +
k
/n
) pour l'intégrale I ou rn =
1
/n
n−1
∑
k=0
g(1 +
k
/n
) pour l'intégrale J d'une part.
Sn =
1
/n
n−1
∑
k=0
f(1 +(
k+1
/n)
) pour l'intégrale I ou Rn =
1/
n
n−1
∑
k=0
g(1 +
(k+1
/n)
) pour l'intégrale J d'autre part.
2.1. Donner un encadrement des aires Af et Ag à l'aide des nombres sn, Sn, rn et Rn. Pour cette
question vous pouvez vous aider du logiciel Géogébra et définir SommeInférieure[f,1,2,5], SommeSupé-
rieure[f,1,2,5], SommeInférieure[g,1,2,5] et SommeSupérieure[g,1,2,5]. Les nombres obtenus vous serons
utiles pour la suite du travail pratique. Une impression du schéma obtenu peut être introduite dans
vos réponses.
2.2. Calculer les valeurs exactes puis les valeurs approchées au millionième des nombres s5, S5, r5 et R5.
Ensuite, calculer l'amplitude donnant la précision de l'encadrement des intégrales I et J. L'amplitude
d'un encadrement, en général notée A, est la différence entre la borne supérieure et la borne inférieure
de cet encadrement.
2.3. Démontrer que sn = 2 +
1
/n
et que Sn = 2 −
1
/n
.
2.4. Démontrer que rn =
6
n(3
1
n − 1)
et Rn = e
ln(3)
n rn.
2.5. Démontrer que les couplent de suites ((sn)n∈N∗ , (Sn)n∈N∗ ) d'une part et ((rn)n∈N∗ ; (Rn)n∈N∗ ) d'autre
part sont adjacentes.
2.6. Calcul de I : Calculer les limites des suites numériques (sn)n∈N∗ et (Sn)n∈N∗ . Retrouver le résultat
de l'intégrale I de la première question.
2.7. Calcul de J : À l'aide de la définition du nombre dérivé, démontrer que limn→+∞
n(3
1
n − 1) = ln(3).
En déduire la limite des suites numériques (rn)n∈N∗ et (Rn)n∈N∗ . Retrouver le résultat de l'intégrale J
de la première question.
3. Méthode des trapèzes :
3.1. Pour la fonction f, en séparant l'intervalle fermé [1; 2] en n subdivisions, l'aire Af est approchée
par la suite formée de la somme des aires des trapèzes, notée T fn =
1
2n
n−1
∑
k=0
(f(1 +
k
n
) + f(1 +
k+1
n
)).
Déterminer les valeurs exactes T f5, T f10, T f100 et T f1 000.
3.2. Que pensez vous de l'erreur réalisée par la méthode des trapèzes sur une fonction affine ? Expliquer.
3.3. Pour la fonction g, en séparant l'intervalle fermé [1; 2] en n subdivisions, l'aire Ag est approchée
par la suite formée de la somme des aires des trapèzes, notée T gn =
1
2n
n−1
∑
k=0
(g(1 +
k
n
) + g(1 +
k+1
n
)).
Déterminer les valeurs approchées au dix millionième de T g5, T g10, T g100 et T g1 000.


4. Méthode des points milieux :
4.1. Une autre méthode d'approximation avec des aires simples est la méthode des points milieux,
parfois appelé méthode du rectangle formé par le point milieu. Ici, pour chaque subdivision l'aire sous
la courbe est approchée par l'aire d'un rectangle de longueur f(
3
2
) pour 1 et 2 les bornes de l'intervalle
d'intégration avec une seule subdivision. L'approximation est donc donnée par la suite formée de la
somme des aires de ces rectangles, notée pour n subdivisions : PMfn =
1
n
n−1
∑
k=0
f(1+
k
n
+
1
2n
). Déterminer
PMf5, PMf10, PMf100 et PMf1 000.
4.2. Que pensez vous de l'erreur réalisée par la méthode des points milieux sur une fonction affine ?
Expliquer.
4.3. De la même manière, pour la fonction g et pour n subdivisions : PMgn =
1
n
n−1
∑
k=0
g(1 +
k
n
+
1
2n
).
Déterminer PMg5, PMg10, PMg100 et PMg1 000.
5. Quelques éléments sur l'erreur commise :
5.1. Calculer s10, S10, s100, S100, s1 000 et S1 000 pour la fonction f.
5.2. Calculer r10, R10, r100, R100, r1 000 et R1 000 pour la fonction g.
5.3. Pour n = 5, n = 10, n = 100 et n = 1 000 calculer pour les fonctions f et g les erreurs commises,
notées En, entre les trois méthodes et la valeur exacte calculée dans la question 1. Pour la méthode des
rectangles, vous pouvez prendre les deux calculs avec les sommes inférieures et les sommes supérieures.
Les erreurs seront estimées au dix millionième. Il est judicieux de présenter l'ensemble des résultats
dans un tableau synthétique.
5.4. Quel conjecture peut-on faire sur la précision des trois méthodes : méthodes des rectangles, des
trapèzes et des points milieux ?
6. Algorithmique :
6.1. Compte tenu des calculs des intégrales I et J et dans le but d'automatiser le calcul d'approximation
d'une primitive avec une précision p fixée, quelle(s) question(s) préalable(s) faut-il se poser avant de
se lancer dans les calculs ?
6.2. Écrire un algorithme en langage naturel permettant de calculer et d'afficher l'encadrement d'une
intégrale d'une fonction continue f sur l'intervalle [1; 2] ainsi que l'amplitude de l'encadrement déter-
minée en fonction de l'entier naturel n saisit par l'utilisateur pour la méthode des rectangles. Pour les
méthodes des trapèzes et des points milieux, l'algorithme affichera la valeur approchée de l'intégrale
en fonction de l'entier naturel n saisit par l'utilisateur.
7. Question bonus :
Présenter mathématiquement et algorithmiquement la méthode d'approximation du calcul numérique
d'une intégrale avec la méthode de Simpson.
8. Programmation : Traduire ces algorithmes sur votre machine à calculer puis sur le langage de program-
mation Python avec l'éditeur X-Cas. Au préalable, vous demanderez à l'utilisateur si la fonction étudiée
est croissante ou décroissante.
9. Question bonus :
Tester vos programmes, avec les intégrales I et J, pour les valeurs de n suivantes : 5, 10, 100, 1000. Main-
tenant l'intervalle fermé [1; 2] est séparé en 2
n
segments égaux. Modifier vos algorithmes en conséquence
et comparer pour un n fixé la précision des trois méthodes de calculs.
Pour la première question j'ai trouvé I=2 et J=5,46, normalement c'est bon.