Salut !


fais le changement de variable u'=au, si a est positif tu arrive à l'intégral
intégral de 0 a +infinit de sin(u)/u du. donc ca dépend pas de a. c'est une constante.


apres je sais que ca vaut Pi/2, mais j'ai pas de preuve simple qui me vienne à l'esprit (mais toute les technique de calcule élementaire : Ipp, changement de variable et cie... ne devrait pas aboutir normalement...)

Ca m'étonne que cela ne dépende plus de a... C'est contraire à l'énoncé du pb. Je vais tenter tout de même, merci

En effet tu a raison!! L'intégrale ne semble pas dépendre de a.

Salut ^^

PLus connu sous le nom d'intégrale de Dirichlet...

Voilà plusiseurs méthodes afin d'en venir à bout :

As-tu vu l'analyse complexe un peu ?

une methode tres classique en prépa :

on pose f(t) = intégral de 0 a +l'infinit de sin(x)/(x+t)
g(t) = intégral de 0 a +l'infinit de exp(-t*x)/(1+x²)


montrer que f et g sont bien définit,continu et deux fois dérivable sur R+.

montrer que f''(x)+f(x)=g''(x)+g(x)=1/x

en déduir que f(x)=g(x) (regarder les limite en +l'infinit ...)

en déduir la valeur de ton intégral.

Salut,
la méthode la plus simple et naturelle est d'utiliser le théorème de Fubini, en remarquant que

Sauf erreur.

la plus simple je veux bien, mais je trouve pas ca super naturel :p

enfin, c'est un manque d'entrainement surement ^^

Salut Ksilver !!

Une variante :

On pose

1) Montrer que est définie, et continûment dérivable sur

2) Montrer que est dérivable sur , et calculer pour

3) Montrer que pour , on a

4) En déduire la valeur de

Naturel, dans le sens qu'elle ne fait pas appel à un théorème type résidu par exemple et qu'elle est tout de même plus naturelle que de passer par des fonctions auxiliaires sorties de nul part

Que de méthode de bourrin

Y en a franchement faut aller les chercher!!