désolé pour le bruit, mais il y a une erreur dans l'énoncé précédent. Il faut lire :

Bonsoir,

Il me semble qu'une intégration par partie ferait l'affaire, avec selon les notations habituelles u = 1/(x²+1) et v' = x^a-1/(x^a+1).
Le cas a = 1 est un cas particulier, à traiter séparément.

Bonjour,
je ne pense pas qu'il existe une expression simple de cette intégrale en fonction de a.
Avec Maple on trouve par exemple :

pour

pour

pour

pour

pour

En revanche il existe une formule vraiment très simple pour l'intégrale obtenue en changeant en au dénominateur.

Merci à tous les deux. Une fois l'énoncé corrigé, les calculs se font bien par IPP.
Castorfuté

@castorfute
Je ne comprends pas ce que tu veux dire par "Une fois l'énoncé corrigé, les calculs se font bien par IPP".
De quelle intégrale s'agit-il ?

S'il s'agit de l'intégrale je ne vois pas coment une IPP permet de la calculer.

S'il s'agit de l'intégrale il n'y a pas besoin d'IPP, un changement de variable astucieux donne le résultat presque immédiatement.

@jandri
On prend l'énoncé :
N'ayant pas vu le changement de variable astucieux, j'ai procédé par IPP, et cela marche bien.
castorfuté

D'accord.
Le changement de variable astucieux est

Il doit bien y avoir une formule fermée donnée par le théorème des résidus. On prend le lacet classique réunion de [-R,R] et du demi-cercle supérieur de rayonr R.
Pour R assez grand, il entoure avec un indice de 1 tous les zéros de de partie imaginaire positive et l'intégrale vaut .

Il faudrait préciser la détermination du logarithme utilisée pour définir et calculer l'ordre des pôles et calculer les résidus. Attention au cas a = 2 par exemple qui double l'ordre de i