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calcul integrale sur un intervalle qqconque qui vaut Pi²/12

Posté par
supercharlie 26-09-09 à 17:51

bonjour, je suis sur un exercice de calcul d'integrales impropres: je dois montrer qu'entre 0 et 1
-ln(t)/(1+t)dt et ln(1+t)/t dt vaut ²/12
j'ai senti qu'il fallait introduire des fonctions trigonometriques pour faire apparaitre du Pi alors du coup j'ai fait plein de changements de variables, sans résultats. Quelqu'un pourrait-il m'éclairer?
Merci beaucoup.

Posté par
perroquetre : calcul integrale sur un intervalle qqconque qui vaut Pi²/12 26-09-09 à 17:57

Bonjour, supercharlie

Une indication:    3$ -\frac{\ln(t)}{1+t}=\sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^{n+1}t^n\ln(t),   ceci pour t dans ]0,1]

Posté par
supercharliere : calcul integrale sur un intervalle qqconque qui vaut Pi²/12 26-09-09 à 18:00

merci Perroquet, mais comment connaissez-vous cette propriété?

Posté par
perroquetre : calcul integrale sur un intervalle qqconque qui vaut Pi²/12 26-09-09 à 18:17

3$ \sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^{n+1}t^n  est la somme de la série géométrique de premier terme -1 et de raison -t. Donc:
3$ \sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^{n+1}t^n=\frac{-1}{1+t}

Posté par
supercharliere : calcul integrale sur un intervalle qqconque qui vaut Pi²/12 26-09-09 à 19:24

je ne sais pas trop comment me servir de cette propriété je pense qu'il y a un rapport avec le théorème d'interversion des signes somme integrale mais je ne connais pas ce théorème.. il y aurait peut etre un autre moyen de resoudre le probleme?

Posté par
perroquetre : calcul integrale sur un intervalle qqconque qui vaut Pi²/12 26-09-09 à 20:47

C'est effectivement un théorème d'interversion qu'il faut utiliser (ou démontrer dans ce cas particulier, ce qui n'est pas trop difficile).
Je ne pense pas qu'il y ait une autre méthode.


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