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calcul intégrales doubles

Posté par luttia (invité) 01-01-06 à 16:55

Bonjour et bonne année 2006.
Voila, j'ai commencé l'exercice mais je reste vite bloquer . J'arrive à montrer que J=I . Mais j'arrive pas à calculer I et je vois pas les deux manières , dont il est question .

Soit a = { (x,y) R² I 0<=x<= pi /2 ,  0<= y<=a<=1} .
Trouver pour tout a tel que 0<a<1 la valeur de l'intégrale :
  
I= log(1+acos x )/cos x dx
entre 0 et pi/2
en calculant de deux manières l'intégrale double

J= dxdy/1+ycosx
sur a

Merci d'avance

Posté par
kaiser Moderateurre : calcul intégrales doubles 01-01-06 à 17:07

Bonjour luttia

Les deux manières que je vois pour calculer cette intégrale est d'integrer d'abord par rapport à y (ce que tu as fais pour démontrer I=J) ou d'intégrer d'abord par rapport à x. Pour cela, je te propose un développement en série entière.

Kaiser

Posté par luttia (invité)re : calcul intégrales doubles 01-01-06 à 17:11

Oui pourquoi pas , mais n'y a t -il pas plus simple pour trouvé la valeur de I ? Avec une intégration par parties ?

Posté par
kaiser Moderateurre : calcul intégrales doubles 01-01-06 à 17:36

Je crains que ça ne complique l'expression plus qu'autre chose.

Posté par
kaiser Moderateurre : calcul intégrales doubles 01-01-06 à 18:09

On peut toujour effectuer le changement de variable u=tan(\frac{x}{2})

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : calcul intégrales doubles 01-01-06 à 18:23

Bonjour luttia;
Commençons par remarquer que les fonctions \fbox{[0,\frac{\pi}{2}]\to\mathbb{R}\\x\to\frac{ln(1+a cos(x))}{cos(x)}} et \fbox{[0,\frac{\pi}{2}]\times[0,a]\to\mathbb{R}\\(x,y)\to\frac{1}{1+ycos(x)}} sont continues (la premiére étant prolongeable par continuité en \frac{\pi}{2}^-) les deux intégrales I et J sont donc bien définies.
Comme tu l'as remarqué on a d'abord:
\fbox{J=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}dx\int_{0}^{a}\frac{dy}{1+ycos(x)}=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{dx}{cos(x)}\int_{0}^{a}\frac{cos(x)dy}{1+ycos(x)}=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{dx}{cos(x)}[ln(1+ycos(x)]_{0}^{a}=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{ln(1+a cos(x))}{cos(x)}dx=I}
et on a aussi (par Fubini):
\fbox{J=\int_{0}^{a}dy\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{dx}{1+ycos(x)}} par le changement de variable \fbox{t=tan(\frac{x}{2})} on a que:
\fbox{\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{dx}{1+ycos(x)}=\frac{2}{1-y}\int_{0}^{1}\frac{dt}{t^2+(sqrt{\frac{1+y}{1-y}})^2}=\frac{2}{sqrt{1-y^2}}arctan(sqrt{\frac{1+y}{1-y}})} et avec \fbox{u=sqrt{\frac{1+y}{1-y}}} on obtiens que:
\fbox{J=\int_{1}^{sqrt{\frac{1+a}{1-a}}}\frac{2}{1+u^2}arctan(u)du=[artan^2(u)]_{1}^{sqrt{\frac{1+a}{1-a}}}}
Conclusion:
3$\blue\fbox{\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{ln(1+a cos(x))}{cos(x)}dx=arctan^2(sqrt{\frac{1+a}{1-a}})-(\frac{\pi}{4})^2}

Sauf erreurs...

Posté par luttia (invité)re : calcul intégrales doubles 02-01-06 à 13:13

Euh normalement je dois trouver d'aprés le corrigé
I=pi²/8- 1/2arcos a²


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