Inscription / Connexion Nouveau Sujet
calcul le rang d'une matrice antisymétrique
Bonjour, voilà j'ai un petit problème pour calculer le rang de cette matrice A :
( 0 x y )
A=(-x 0 z )
(-y -z 0 )
On sait que A est antisymétrique donc elle vérifie t(A) = -A
( 0 -x -y )
tA = -A =( x 0 -z )
( y z 0 )
Par définition, on sait que une matrice et sa transposée ont même rang.
D'où
rg(A)=rg(tA)=rg(-A)
Je n'arrive pas à calculer le rang de la matrice sachant que le pivot de gauss ne peut pas marcher sur cette matrice. Avez-vous une idée ?
Bonjour
Evidemment il faudra discuter sur ,
,
... Que vaut
?
Et le pivot marche toujours, on peut choisir une colonne de départ!
det A = 0 donc non inversible.
Mais ce que je ne comprend pas c'est qu'on nous demande : " Montrer que A est de rang 2." alors que le rang dépend des x,y,z
As-tu lu (et éventuellement compris) ce que j'ai écrit ? Ca demande de connaître le produit vectoriel.
Non je n'ai pas vraiment compris. Mais je t'avouerai qu'on utilise jamais le produit vectoriel dans ces cas, et le prof n'aime pas trop quand on utilise une autre manière que la sienne, le seul problème c'est que le pivot de gauss est plutôt difficile à appliquer sur cet exemple, mais je vais réessayer demain.
Une autre façon de dire la même chose : on constate que les coordonnées de sont exactement (au signe près) les déterminants
extraits de la matrice
. Donc le vecteur
est dans le noyau de
si et seulement si la matrice
est de rang 1. Ainsi, le noyau de
est ...
Enfin, puisque tu ne veux pas en entendre parler, inutile de poursuivre.
Qu'est-ce que c'est que ce délire ? Il est inutile de passer par le produit vectoriel. Passer par la transposé, est, selon moi, une excellente idée.
1] si x est non nul
Im (A) = Vect (C1, C2, C3) = Vect ( C1 , C2, (z/x) C1 - (y/x) C2 ) = Vect ( C1, C2 )
Il est évident que ces deux vecteurs sont libres car aC1+bC2 => a=b=0.
On en conclut que le rang de A vaut 2
2] si x est nul
C'est facile .
Bien sûr qu'on peut se débrouiller par des opérations sur les lignes et les colonnes. Mais il n'est pas inutile parfois de lever la tête du guidon et de voir le rapport entre matrices antisymétriques et produit vectoriel. D'une part ça donne immédiatement la réponse en identifiant le noyau, d'autre part ça sert ailleurs ... par exemple en cinématique quand on parle de vecteur instantané de rotation.
Il n'y a pas de doute que la solution de GaBuZoMeu est la plus élégante... si on connait le produit vectoriel.
Mais même sans, il est inutile de faire des combinaisons linéaires! Il suffit de regarder la matrice pour voir que dès que l'un des coefficients est non nul, il existe un déterminant extrait non nul.
Si je peux me permettre je ne comprend pas pourquoi le prof nous demande de montrer que le rang de la matrice A (non nul) est 2 sachant qu'en fonction de x,y,z, le rang peut être différent de 2 sans que A soit nul
On t'a montré (de différentes manières) le contrire de ce que tu affirmes : si A est non nulle, son rang est toujours 2. Tu n'as compris aucune des démonstrations ?
Si j'ai compris la méthode deiciparisonzieme, mais je ne gère pas trop les produit vectoriel.
juste une petit question pour conclure ce sujet, le rang de cette matrice est bien de 2 ?
(0 y x)
(0 z 0)
(0 0 -z)
Cher Ultimatom, je termine la discussion commencée précédemment pour achever de te convaincre. J'avais prouvé que si x est non nul, le rang de A valait 2. Je rappelle que j'avais nommé C1, C2 et C3 les colonnes de la transposée de A.
Il restait à examiner le cas x = 0
2] Si x est nul
a] si y est non nul :
Im(A) = Vect( C1, C2, C3 ) = Vect ( C1 , (z/x) C2, C3) = Vect (C1, C3)
On vérifie que (C1,C3) est libre ce qui montrer que rg(A) = 2
b] si y est nul
Im(A) = Vect( 0, C2, C3) = Vect (C2, C3)
En utilisant que z est non nul (car si x=y=z=0, A = 0 ce qui est impossible), on vérifie que la famille (C2,C3) est libre.
Le rang de A est donc égal à 2.
Dans tous les cas, le rang de A vaut 2.
FIN
Annuler
connectez vous
algèbre en post-bac