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calcul limite

Posté par
khalid276 20-09-25 à 16:40

Bonjour je vous écris car je suis bloqué au niveau d'un calcul de limite
Je dois calculer la limite de (\frac{x}{ln(x))})^{\frac{ln(x)}{x}}
en + infini

j'ai donc modifié l'expression en utilisant la notation exp ce qui m'a donné : e^{\frac{ln(x)}{x}*ln(\frac{x}{ln(x)})}
mais ça me fais 0*infini donc une FI et quand j'écris le log comme ln(x)-ln(ln(x)) ça me donne alors 0*(+infini-infini) donc c'est aussi une FI je ne vois pas trop comment faire autrement
D'autre dans une autre question il était demander d'évaluer la limite en + infini de \frac{x^{ln(x)}}{ln(x)} j'ai donc aussi utilisé la notation exp ce qui m'a donné \frac{e^{ln(x)}²}{ln(x)} j'en donc conlut que ça tendait vers + infini mais je me demande si j'aurais simplement pu utillisé le fait que ln(x)^{\alpha }= o(x^{\beta )} pour tout beta >0 ?

Mercii

Posté par
Rintarore : calcul limite 20-09-25 à 16:56

Bonjour khalid276,

pour ta première question : tu peux détailler la forme finale que tu obtiens après passage à l'exponentielle ? Je n'ai pas de forme indéterminée de mon côté.

Seconde question : comment voulais-tu exploiter \ln(x)^\alpha = o(x^\beta) ?

Remarque : en LaTeX, on met un slash "\" devant "ln" pour avoir une jolie notation. C'est pareil pour les fonctions trigonométriques aussi, par exemple \cos, \sin, \tan etc...

Posté par
khalid276re : calcul limite 20-09-25 à 17:08

Rintaro @ 20-09-2025 à 16:56

Bonjour khalid276,

pour ta première question : tu peux détailler la forme finale que tu obtiens après passage à l'exponentielle ? Je n'ai pas de forme indéterminée de mon côté.

Seconde question : comment voulais-tu exploiter \ln(x)^\alpha = o(x^\beta) ?

Remarque : en LaTeX, on met un slash "\" devant "ln" pour avoir une jolie notation. C'est pareil pour les fonctions trigonométriques aussi, par exemple \cos, \sin, \tan etc...

Bonjour,
Et bien après passage à l'exponetielle j'ai e^{\frac{\ln(x)}{x}\times (\ln(x)-\ln(\ln(x))}
Cependant \frac{\ln(x)}{x} tend vers 0 et \ln(x)-\ln(\ln(x) ça donne +infini -infini du coup ça fait une FI non ? je n'arrive pas trop à voir mon erreur
Et pour la seconde question, oui c'est bien ça je me demendais si cela suffisait comme argument pour dire que la limite vaut + infini au lieu d'utiliser la notation exponentielle ?

Posté par
carpediemre : calcul limite 20-09-25 à 20:36

salut

si y = \left( \dfrac x {\ln x} \right) ^{\frac {\ln x} x} on peut regarder la limite de \ln y

même principe pour l'autre question ...

Posté par
GBZMre : calcul limite 20-09-25 à 21:15

Bonsoir,

\large \dfrac{\ln(x)}x \;(\ln(x)-\ln(\ln(x)))=\dfrac{\ln(x)^2}x - \dfrac{\ln(x)\ln(\ln(x))}{x}

Posté par
carpediemre : calcul limite 20-09-25 à 22:33

ne serait-ce pas mieux en factorisant par le premier terme ?

Posté par
candide2re : calcul limite 21-09-25 à 10:30

f(x) = (x/ln(x))^(ln(x)/x)

ln(f(x)) = (ln(x)/x) * ln(x/ln(x))

lim(x-->oo) ln(f(x)) = lim(x--> +oo) [ln(x/ln(x))/(x/ln(x))] est une indétermination oo/oo
En secondaire, on enseigne lim(y-->+oo) ln(y)/y = 0 (si on ne le sait plus, règle de Lhospital)
Et donc lim(x-->oo) ln(f(x)) = 0 et ...

Posté par
Sylvieg Moderateurre : calcul limite 21-09-25 à 11:48

Bonjour,
" on peut regarder la limite de \ln y " = " ln(f(x)) = (ln(x)/x) * ln(x/ln(x)) "

Posté par
carpediemre : calcul limite 21-09-25 à 13:02

\ln y = \dfrac {\ln x} x \times \ln \left( \dfrac x {\ln x} \right) = \dfrac { \ln \left( \dfrac x {\ln x} \right) } {\dfrac x {\ln x}}    de la forme    \dfrac {\ln u} u    (*)

ou

\ln y = \dfrac {\ln x} x \times \ln \left( \dfrac x {\ln x} \right) = \dfrac{\ln(x)}x \;(\ln(x)-\ln(\ln(x)))=\dfrac{\ln^2 (x)}x \left( 1 - \dfrac{\ln(\ln(x))}{x \ln x} \right)

le premier facteur rend vers 0, le second tend vers 1 toujours avec (*)

Posté par
Sylvieg Moderateurre : calcul limite 21-09-25 à 13:36

Bonjour carpediem
Je voulais seulement montrer que les deux interventions allaient dans le même sens.


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