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Calcul limite de ln(n!)/n

Posté par
aspic1 09-10-09 à 20:41

Bonjour,

Dans le cadre de mes calculs, je dois calculer à un certain moment la limite de :

f(n) = ln(n!)/n

Comment faire ?

J'ai tenté : ln(n!)/n = ln(n)/n + ln(n-1)/n + ln(n-2)/n + ... + ln(2)/n + ln(1) /n

Je sais que la réponse est + l'infini mais je veux le démontrer

Merci

Posté par
gui_toure : Calcul limite de ln(n!)/n 09-10-09 à 20:44

saloute

Tu peux encadrer ln(k) entre deux intégrales (comparaison série-intégrale) et ainsi, encadrer f(n) judicieusement.

A vue de nez, tu as raison, ça tend vers +oo (à la vitesse de ln(n) si je ne me plante pas trop trop)

Posté par
Drysssre : Calcul limite de ln(n!)/n 09-10-09 à 20:46

l'equivalent de stirling donne le résultat.

Posté par
aspic1re : Calcul limite de ln(n!)/n 09-10-09 à 20:46

Ouah... J'ai jamais vu ca...

Tu peux me montrer rapidement ?

Posté par
gui_toure : Calcul limite de ln(n!)/n 09-10-09 à 20:51

Dryss t'utilises le bazooka pour tuer une mouchette là (et pis d'abord faut pouvoir la démontrer, na ^^)

aspic :

la fonction 3$g(t)=\ell n(t) est positive, croissante et continue sur 3$[1,+\infty[.

Donc pour k entier naturel (>0) :

3$g(k)\le g(t)\le g(k+1) et par intégration sur le segment [k,k+1] par rapport à t : 3$g(k)\le \Bigint_{k}^{k+1}g(t)dt\le g(k+1)

Tu sommes ...

Or on connaît une primitive de g, donc jackpot il ne reste plus qu'à calculer.

(Je crois avoir dit une bêtise pour la divergence en ln(n) )

Posté par
Drysssre : Calcul limite de ln(n!)/n 09-10-09 à 21:00

Non cest bien en ln(n) et ta technique aboutit gui_tou.

Tu es tjrs en spé ou tu as intégré d'ailleurs?

Posté par
gui_toure : Calcul limite de ln(n!)/n 09-10-09 à 21:04

oui en fait j'ai demandé à Maple et pour n=10000 et il m'a donné f(n)/n = 0.89 alors j'ai remis en cause mon flair ^^

Nan je suis en 5/2, et toi en spé à Paris ?

Posté par
Drysssre : Calcul limite de ln(n!)/n 09-10-09 à 21:06

Oui, spé a paris en 3/2.
(comment t'as deviné pour paris? IP?)

Posté par
aspic1re : Calcul limite de ln(n!)/n 09-10-09 à 21:07

Pour l'intégrale, je trouve :

ln(t) dt = t - t*ln(t) entre k+1 et k

Mais après je fais quoi ?

Posté par
gui_toure : Calcul limite de ln(n!)/n 09-10-09 à 21:07

(Coup de pot Nan mais souvent les bons sont à Paris donc voila)

Posté par
esta-fettere : Calcul limite de ln(n!)/n 09-10-09 à 21:13

Bonsoir:

moi je dirais soit n un entier:

4$ \frac {ln (2N)!} {2N} > \frac{N Ln N}{2N}

car ln est croissante et dans le log de la factorielle, on peut majorer la moitié des termes par ln N...

pas la peine d'utiliser un bazooka....

Posté par
aspic1re : Calcul limite de ln(n!)/n 09-10-09 à 21:14

Ca serait pas plutot :

ln(n!)/n > nln(n)/n ?

Posté par
esta-fettere : Calcul limite de ln(n!)/n 09-10-09 à 21:21

NON:si n=2

ln(2!)/2   < 2 ln2 /2
---------------------------

Je reprend ce que j'ai dit:

N est un entier:

ln ((2N !) = ln(1)+ln(2)+...+ln(N-1) + ln(n)+ln(N+1)+....+ln(N+N) > ln(N-1) + ln(n)+ln(N+1)+....+ln(N+N)
> N ln(N)

donc 4$ \frac {ln (2N)!} {2N} > \frac{N Ln N}{2N}

on peut trouver de la même façon:

ln n! > n/2 ln n

Posté par
gui_toure : Calcul limite de ln(n!)/n 09-10-09 à 21:27

c'est joli

[mauvaise foi] l'avantage de ma méthode c'est qu'elle sert très souvent en donnant le luxe d'avoir un équivalent [/mauvaise foi]

Posté par
aspic1re : Calcul limite de ln(n!)/n 09-10-09 à 21:31

Ok ! Mais si je remplace N par n/2, j'obtiens :

ln (n!) > ln(n/2) / 2 et non ton résultat...

Posté par
gautminre : Calcul limite de ln(n!)/n 09-10-09 à 21:36

Bonsoir,

sans se compliquer la vie non plus :

{{ln(n!)}\over{n}} = \sum_{k=2}^{n} {{ln k}\over{n}}

Or, \forall k \geq 3, on a : {ln k \over n} \geq {1 \over n}

Par conséquent, en enlevant les 2 premiers termes de la série harmonique :

{\sum_{k=2}^{n} {{ln k} \over {n}}} \geq {\sum_{k=3}^{n} {1 \over n}}

La série harmonique étant divergente, on a bien la divergence de notre somme =)

Posté par
esta-fettere : Calcul limite de ln(n!)/n 09-10-09 à 21:37

Citation :
Ok ! Mais si je remplace N par n/2, j'obtiens :

ln (n!) > ln(n/2) / 2 et non ton résultat...


on obtient à peu de chose près.

4$ \frac {\ln (n)!} {n} > \frac{n/2 \ln (n/2)}{n}

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Calcul limite de ln(n!)/n 09-10-09 à 21:41

Bonjour ;

5$\fbox{\frac{\ell n(n!)}{n}=\frac{1}{n}\Bigsum_{k=1}^n\ell n(k)\;\displaystyle\to_{n\to+\infty}\;+\infty} c'est une variante du lemme de Césaro sauf erreur bien entendu

Posté par
gautminre : Calcul limite de ln(n!)/n 09-10-09 à 21:48

Ah oui tiens, je suis passé dessus sans reconnaître.

Du coup, ca devient vraiment plus court =)

Posté par
aspic1re : Calcul limite de ln(n!)/n 09-10-09 à 22:02

En tout cas, merci à tous !


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