Bonjour,
A est une matrice, U_n aussi.
Avec les matrices, pas de division ; si l'inverse existe, on multiplie par l'inverse. Mais c'est hors sujet ici.
Ici, on a la matrice colonne U_n+1 que l'on veut égale au produit d'un matrice A par la matrice colonne U_n .

Or F_n+2 = F_n+1 + F_n
Et F_n+1 = F_n+1

A gauche, on a la matrice colonne U_n+1 ; à droite, les coefficients de la matrice A devant F_n+1 et F_n .

Cela t'éclaire-t-il un peu ?

Bonjour Mathafou,
Nous nous sommes croisés
Je me suis contentée d'essayer de débroussailler 1)b).

Bonsoir,

1)b) On pose :

Un= . Donc :

U_n+1=

=

= = A*Un. Avec A, matrice carrée d'ordre 2.

Bonsoir!
Donc on aurait Un = Fn+1   et  Un+1 = Fn+1 + Fn
                     Fn                Fn+1

On a ensuite Un+1 = 1  1  *  Un
                    1  0

                  = AUn
Est-ce juste?

je n'avais pas vu votre post de 18:10 fenamat84, je trouve la même chose mais tout en décalé!! j'espère que vous comprendrez...

C'est à toi de contrôler tes réponses !! Recopier ce que je viens d'affirmer au post précédent ne sert à rien, il faut comprendre par soi-même pourquoi j'ai écrit ça et vérifier ses erreurs.

Bref, le 1)c) se traite par récurrence. Comment procèdes-tu ?

Ah nos messages se sont croisés.

J'ai pas recopié ce que vous aviez écrit!!

voici ce que j'ai fait pour le 1)c. :

Initiation : U0=A^0*U0 => U0=U0, c'est donc vrai

Hérédité : supposons que Uk=A^kU0 est vraie pour un entier k quelconque.
Montrons alors que Uk+1=AUk
Uk+1 = A*Uk
     = A(A^k*U0)
     = A^k+1 * U0
On a donc bien démontré que pour tout entier naturel n, Uk=A^k*U0

C'est juste comme ça?

j'ai fait une faute,

c'était juste je pense, ne prenons pas en compte la modification que j'ai faite

Tu montres qu'elle est vraie au rang k+1. Donc tu dois aller démontrer que : U_k+1=A^k+1U₀.

Oui c'est juste, je m'étais bien trompée, merci! Je passe à la 2

Je vais aller dîner, je serai de retour dans quelques instants.

Bon appétit!

Voici ce que j'ai fait pour la 2)a. :
Une matrice est inversible si son det est différent de 0, donc on a :
det(P)=(1+5)*2 - (1-5)*2 = 8.94
Or 8.940, donc P est bien une matrice inversible.

L'inverse de P maintenant :
P^-1 = 1/det(P) = 0.22   0.13
                       -0.22  0.36

mais vu que je ne trouve que des résultats décimaux, ça ne posera pas problème pour la suite?

tu mets ta calculette dans un tiroir fermé à clé et tu n'y touche pas du tout
il n'y a aucune valeur décimale à utiliser dans cet exo
que des valeurs exactes

(1+5)*2 - (1-5)*2 = 2 + 2 -2 + 25 = 45 0 sans qu'il soit nécessaire d'en calculer une quelconque valeur numérique que ce soit

et tout le reste du même tonneau.

D'accord, donc on a :
det(P) = 45

P^-1 = 5/4      *      2       -1+5
                         -2        1+5

d'où P^-1 = 5/2   (-5+55) / 4
              -5/2   (5+55) / 4

De retour de dîner.

Oui, comme le dit mathafou, gardes les valeurs exactes lors de ton calcul du déterminant.
Même chose pour le calcul de l'inverse P^-1.

mince je me suis complètement trompée!!! j'ai pris 4/5 comme valeur au lieu de 45! je recommence...

si je rectifie, on a :
P^-1 = 1/(45)   *      2  -1+5
                               -2    1+5

P^1- = 2/45           (-1+5) / 45
       -2/45          (1+5)/45

P^-1 = 1/25     -3/4
      -1/25     5/4

Tu dois trouver :

.

ou sinon :

.

Gardes cette expression, ça va être plus simple ensuite pour calculer D.

2)b) Tu dois trouver :

.

On doit obtenir une matrice diagonale, ce qui est le cas.

Bonjour! J'ai fait et refais les calculs plusieurs fois, mais je ne trouve jamais ce résultat pour la 2)a...

Bonjour,
comme je n'ai pas envie de calculer moi-même à la main je demande gentiment à Xcas de me faire le calcul

il me donne "brut de décoffrage"




ce qui donne écrit proprement
en parfait accord avec le résultat de fenamat.

bon c'est vrai, à la main le risque d'erreur de calcul, recopies, signes et autres racines de 5 devient élevé si on ne fait pas :

Il y a un truc que je ne comprends pas. En gros, dans mon cours il est dit :
" Soit A = (A1   A2
               A3   A4)

A^-1 = 1/det(A) * (A4  -A2
                         -A3  A1)

sauf qu'ici, quand j'utilise cette formule, j'arrive à ça :

P^-1 = 1/45  *    (2       1-5
                           -2       1+5)

  1/45  *     ( 2     -5+1
                            -2     5+1)    

P^-1 =   2/(45)        (-5+1)/(45)
               -2/(45)         (5+1)/(45)        

ce que je ne comprends pas c'est comment vous "isolez" le 5/20...

Tu élimines le radical au dénominateur en multipliant en haut et en bas par 5.
Ainsi :

.

et le signe de "-A2" ?
A2 = 1 - 5 (énoncé)
-A2 = ???

PS : le 1/(45) il était déja "isolé", c'est toi qui l'a remis "dedans"

il suffisait juste de le transformer, tout isolé qu'il était, comme a expliqué fenamat, sans vouloir absolument multiplier tous les termes de la matrice par ça, et devoir le réextraire ensuite ...

oui c'est vai! merci mathafou, A2=5-1

-A2 pardon

D'accord, c'est plus clair j'ai refais les calculs avec les explications et je trouve comme vous, merci beaucoup!
Je passe à la 2)b

Pour la 2)b), je te conseille de garder l'expression de P^-1 à mon post du 13/01 à 22h14 avec le devant.
Cela te facilitera un peu plus le calcul de D=P^-1AP et de t'emmêler avec des histoires de fractions sinon...

Je trouve le même résultat! le calcul est un peu long à recopier mais je l'ai refais plusieurs fois à cause des erreurs de signes qui m'ont induites en erreur, et je trouve enfin la même chose! Par contre je l'ai laissé sous cette forme :

D = 5 / 20 * ( 10+25                   0
                              0                     -10+25)

Pour la 2)c voici ce que j'ai fait :
Démontrer que A=PDP^-1 DP^-1 = AP PDP^-1 = A

j'ai oublié de dire qu'on part de D=P^-1AP avant de commencer l'équivalence

le mettre sous la forme réduite permet de faire intervenir le nombre d'or et son inverse
mais bon ... ce n'est pas fondamentalement utile dans l'exo,

en tout cas il va être plus facile d'écrire des



que des

= ... bof à redévelopper et retomber sur ce qu'on pouvait écrire directement

2)c) Oui, si tu pars de , tu as :

(car ).

Ensuite, pour montrer que tout entier n, on a on raisonne par récurrence.

je l'ai mis sous la forme finale développée que vous trouvez pour la 2)b.

Pour la 2)c., au raisonnement par récurrence, j'ai fais ça :

Initiation : on a A⁰=PD⁰P^-1 A⁰= 1       0
                                                   0       1
Hérédité : on suppose que A^k=PD^KP^-1 soit vrai pour un entier k arbitraire
Montrons que A^k+1=PD^k+1P^-1
                            = A^k*D
                            = (PD^kP^-1)*D
                            = PD DD^k DP^-1
                            = PDD^k+1DP^-1

Mais je n'arrive pas à continuer, et ça me paraît un peu bizarre le partie hérédité!!

c'est assez évident en fait

encore faut il raisonner correctement ces parties hérédités des récurrences
et ne pas partir de l'écriture de A^k+1 "comme si c'était déja vrai"
tu ne peux absolument pas écrire dès le départ
Montrons que A^k+1 = PD^k+1P^-1 parce que ça tu n'as pas encore le droit de seulement l'écrire : tu n'en sais encore rien !!!
= A^k×D (pas compris de toute façon d'où tu sors ça)

(j'utilise le caractère × plutot que * qui a une facheuse tendance à se mettre "trop haut")

Hérédité : on suppose que A^k = PD^kP^-1 soit vrai pour un entier k arbitraire

calculons A^k+1 = A×A^k = A×(PD^kP^-1)

et maintenant on utilise A = PDP^-1 pour simplifier cette expression :
A^k+1 = (PDP^-1)×(PD^kP^-1) etc ...

et si tout à la fin de ce calcul on tombe sur PD^k+1P^-1 alors là ce sera gagné

ah d'accord... c'est vrai que j'avais pas pensé à AA^k

Donc le calcul donnerai :
A^k+1 = (PDP^-1) (PD^kP^-1)
      = (PDP^-1) (D^kPP^-1)
      = (PDP^-1) D^k
      = PDD^kP^-1
      = PD^k+1P^-1

C'est juste comme ça?

la multiplication des matrices n'est pas commutative A×B est en général différent de B×A

PD^kP^-1 est différent de D^kPP^-1 (tu viens de prétendre que D = A en fait !!! A = PDP^-1 serait selon toi = DPP^-1 = D)

donc non ! ton calcul n'est pas valable

la multiplication des matrices est associative, oui
c'est à dire qu'on peut ajouter ou supprimer des parenthèses mais surtout sans changer l'ordre

supprime donc toutes les parenthèses pour voir ... ça devient même "évident"

L'initialisation est OK. Car d'un côté et .
Pour l'hérédité, oui comme l'affirme mathafou, il faut partir de vrai (vrai au rang n), puis démontrer que cela reste vrai au rang n+1, à savoir : .

On a : .
Attention, il faut écrire et non pas (je rectifie l'erreur faite par mathafou). La multiplication de 2 matrices carrées n'est généralement pas commutative : (.

vous avez raison c'est quasi direct sans les parenthèses!
Donc ça me donne :

A^k+1 = (PDP^-1)(PD^kP^-1)
      = PDP^-1 PD^kP^-1
      = PD^k+1P^-1
ça va maintenant?

Tu n'as pas tenu remarque de mon post précédent !!
Tu ne peux pas écrire :
mais oui !! (à cause de la multiplication de 2 matrices)

Ainsi : je te laisse ensuite terminer le calcul.

oui mais A×Aⁿ = A×(A×A×...×A×A) = (A×A×A×...×A)×A = Aⁿ×A par associativité

donc on peut tout aussi bien écrire Aⁿ⁺¹ = A×Aⁿ que Aⁿ⁺¹ = Aⁿ×A comme on préfère, c'est pareil

A×B est en général différent de B×A oui, mais pas toujours !
la preuve ici dans ce cas particulier là (en fait on n'invoque pas du tout la commutativité pour écrire Aⁿ×A = A×Aⁿ)

c'est même ce qui permet d'écrire Aⁿ sinon on ne pourrait même pas écrire ce "puissance n" du tout, ça n'aurait aucun sens.

_{(voir par exemple les octonions qui ne sont même pas associatifs, la notion de puissance n'y existe pas)}

_{errata : sur les octonions aussi en invoquant non pas l'associativité absente mais une propriétét plus faible "l'alternativité" (ab)b = a(bb) qui ne marche que dans ce cas là (ab)c = a(bc) est faux, là aussi "en général" et juste si b = c}