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calcul numérique sur les polynômes
Bonjour, je sèche sur l'exo suivant:
Pour résoudre l'équation f(x)=0, on propose la méthode suivante:
.3 points(x1,f(x1)),(x2,f(x2)) et (x3,f(x3)) étant connus, on détermine le polynôme de degré 2 passant par ces 3 points,
.on détermine les racines r1 et r2 de ce polynôme,
.on pose x4=r1 ou x4=r2 selon que la valeur absolue de f(r1) ou de f(r2) est la plus petite,
.on recommence avec (x2,f(x2)),(x3,f(x3)) et (x4,f(x4))...
.jusqu'à ce que la valeur absolue de f(x) soit suffisamment petit(c'est_à_dire inférieur à 1 "epsilone" donné).
Démontrer que cette méthode peut converger vers la solution de l'équation (et écrire 1 programme la mettent en oeuvre pour calculer toutes les racines, réelles ou complexes).Ensuite on pourra généraliser la méthode à 4 points et 1 polynôme de degré 3, etc.
Bonjour,
Tout d'abord la troisième étape est en réalité: on pose x4=r1 ou x4=r2 selon que le module de f(r1) ou de f(r2) est le plus petit.
Ensuite mon interrogation est plutôt de savoir comment je peux voir que ma méthode converge vers la solution de l'équation.
Merci de me répondre.
Nini37.
Bonjour 
Il n'y a aucune hypothèse sur ta fonction f?
Et de plus qui dit que le polynôme obtenu à la première étape possède bien des racines réelles??
Ou alors il faut supposer en outre qu'il y a des négatifs et des positifs dans l'ensemble {f(x1;f(x2);f(x3)}.
Le problème c'est qu'il me semble falloir s'arranger pour que cette condition soit vérifiée à chaque étape!
Tigweg
Bonjour,
Merci, pour ta réponse.
En tout cas, il est normale qu'il n'est pas d'hypothèse sur ma fonction f car ce problème une fois résolu sera programmé et donc le choix de la fonction sera laissé libre à l'utilisateur.
Ensuite,le polynôme obtenu à la première étape peut selon moi posséder des racines complexes ou réelles, cela ne pose pas de problème.
C'est pourquoi,je ne pose pas de condition sur l'ensemble{f(x1);f(x2);f(x3)}.
Et mon interrogation reste toujours sur comment prouver que cette méthode converge vers la solution de l'équation.Or,on m'a suggéré de penser que x d'indice n tend vers x "étoile" et de trouver quelle équation va vérifier x "étoile".Mais je sèche encore...
A bientôt
nini37
Bonjour à tous,
Voilà pour montre que la méthode converge vers la solution de l'équation, il faut utiliser la formule d'erreur d'interpolation de Lagrange qui est:
valeur absolue de (f(x)-p(x))<=valeur absolue de(Mn(x))*(Max de la valeur absolue de(f^n(xi))/n!)
avec Mn(x)=produit(de i=1 à n) de (x-xi) et
xi appartenant à [MIN(x-xi),Max(x-xi)].
Tel qu'il faut trouver une dichotomie et mon problème est là car je ne trouve pas les bornes de mon premier intervalle.
Merci de m'aider
Ninie
Donc vous pouvez tous arrêter de réfléchir sur mon problème.
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