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Calcul PI/4 avec artctan(x)
Bonjour,
Voici mon exercice :
1)a) En se basant sur le résultat que la fonction tangente est C(infini) sur ]-π/2 ; π/2[ expliquer pourquoi Arctangente est de classe C(infini) sur R.
1)b) Rappeler le calcul de DL(2n+1) en 0 de la fonction Arctangente notée f dans la suite.
1)b) En déduire les valeurs de f(k)(0), pour tout k entier appartenant a [0,2n+1].
2)a) Vérifier que cos²(f(x))=f'(x).
2)b) Démontrer par récurrence sur n que :
f(n)(x) = (n-1) ! cos^n (f(x)) sin (nf(x)+n π/2).
Retrouver alors le résultat de la question 1)c)
2)c) En déduire un majorant simple de valeur absolue de f(n) sur R.
3)a) En appliquant la formule de Taylor pour f a l'ordre 4n+1 en tre 0 et 1 prouver qu'il existe pour tout n ≥1, un rée Rn tel que π/4= Sn + Rn
avec valeur absolue de Rn≤ 1/(4n+2)
3)b) Justifier que lim Sn= π/4 quand n tend vers + l'infini
3)c) Que pensez vous de ola rapidité de convergence de la suite (Sn) vers sa limite ?
Je suis bloqué dès la 1ere question pouvez vous m'aider merci d'avance 
Peut on dire que si f est de classe C(x) sur sont ensemble de definition alors
f1 ça fonction réciproque est aussi de classe C(x) sur son propre intervalle de définition ?
Donc la même chose sans la racine merci
JE suis également bloqué pour la 2)b et 2)c pouvez vous m'aidez ?
On commence avec l'initialisation :
Pour n=0 :
Arctan (x) = Cos . Arctan(x) . sin (Arctan(x) + PI/2)
Mais l'égalité est telle vérifiée ?
Ensuite on suppose la propriété vrai a n rang n,
Et on démontre qu'elle est vrai au rang n+1 :
f(n+1)(x) = (n+1)-1) ! cos^n+1 (f(x)) sin (n+1 f(x)+ n+1 π/2).
Mais je suis bloquée a cette étape ...
Pour la conclusion :
La propriété est vrai au rang n=0 et héréditaire donc vrai pur tout n
Non, non. Tu ne peux pas calculer la factorielle d'un nombre négatif donc (-1)! n'existe pas, tu initialises à n=1:
or
.
Ah très bien donc f1(x)= cos²(f(x))=f'(x) d'après la question prétendante
Par contre pour l'hérédité je n'y arrive pas
Donc on a :
f(n+1)=n! cos^(n+1)² (f(x))
Or cos² (x) = f'(x)
Donc f(n+1)=n! f^(n+1)(x)
Mais j'ai le n! en trop donc il doit y avoir une erreur
On initialise a 1 donc l'expression = 0 et Arctan(0)= 0 donc c'est vrai au rang n=1
Mais j'ai pas très bien compris la valeur du factoriel n désolé
Ah d'accord merci par contre je ne voix pas comment la récurrence peut m'aider a trouver un majorant de valeur absolue de f(n)
Mais il faut prendre 2 points au hasard ?
Car la théorème c'est bien |f(x)-f(y)| < k|x-y| ?
Mais que prendre pour x et y ?
Sur [0;1] je trouve k=0 c'est normale ?
Sinon il me semble l'avoir fait en exo sur [0;x] et du cou k=x
D'accord merci !
Pour la 3)a faut -il appliquer la formule de Taylor avec reste intégrale ? Car mon prof nous a dis que nous risquions d'être bloqués car nous ne l'avons pas encore vue en cours, de regarder sur internet.
L'ordre 4n+1 c'est pour le sigma ?
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