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Calcul scientifique

Posté par
robby3 10-04-07 à 16:09

Bonjour tout le monde,comme le titre l'indique j'ai des soucis avec cette matiere...
on y fait de tout et de rien:

voila mes problemes:

\rm \fbox{Exercice 1}
\rm Soit f(x)=x^2-3,on cherche a resoudre f(x)=0 par la methode de Newton:
\rm 1)Calculer g et g'
\rm 2)on donne x_0=1,trouver l'ordre de convergence de la méthode

Alors voila ce qu'on a:
la méthode de Newton suggere g(x)=x-\frac{f(x)}{f'(x)}
donc on a:

\rm g(x)=\frac{x^2+3}{2x},g'(x)=\frac{x^2-3}{2x^2}

et ensuite pour répondre à la question2),on amis dans la correction,directement ceci:

\rm |x_{n+1}-\sqrt(3)|=|(x_n-\sqrt(3)-\frac{x_n^2-3}{2x_n}|=|(x_n-\sqrt(3))(x_n-\sqrt(3))\frac{1}{2x_n}|=|(x_n-\sqrt(3))^2.\frac{1}{2x_n}|\le |(x_n-\sqrt(3))^2|

alors la je voudrais juste savoir d'ou sort le \sqrt(3)
et aprés on met ça:

\rm |\frac{x_{n+1}-\sqrt(3)|}{(x_n-\sqrt(3))^2}=\frac{1}{2x_n}->\frac{1}{2\sqrt(3)

voila,ici je voudrais bien quelques explications...

Ensuite,deuxieme probleme:

\rm \fbox{Deuxieme exercice}

\rm f(x)=\sqrt(1+x^2) est-elle contractante?

Et voila ce qu'on écrit:

\rm f'(x)=\frac{x}{\sqrt(1+x^2)}<1 pour x>0 et Sup_{x\in\R}|f'(x)|=1 donc f pas contractante!

alors la pour moi je croyais que f était contractante <=> |f'(x)|\le k<1 et je comprend donc pas pourquoi f n'est pas contractante?

Merci d'avance de votre aide sur ces petits détails.

Posté par
robby3Calcul scientifique 10-04-07 à 16:33

c'est bon,le premier exercice,j'ai compris d'ou sortait le
\sqrt(3)

je pense avoir compris çayé!! l'exercice 1) c'est bon!

pour le 2) je vois pas par contre!

Posté par
Camélia Correcteurre : Calcul scientifique 10-04-07 à 16:42

Salut robby3

Contractante: il existe k strictement inférieur à 1 tel que |f(x)-f(y)|k|x-y|

Ca ne marche pas pour k=1.
Je n'ai pas regardé ta fonction, mais comme le sup de la dérivée est 1, on devrait y arriver...

Posté par
robby3re : Calcul scientifique 10-04-07 à 16:50

Salut Camélia,

je suis ok avec la définition de contractante,mais on a ça;
f'(x)<1 je suis d'accord que pour k=1 ça marche pas...Est-ce que si le sup de la dérivée vaut 1 alors f pas contractante?

cad si on prend une fonction quelconque, qu'on montre que sa dérivée est strictement infèrieure à 1 alors on doit en plus regarder le sup et si celui ci est 1 ça marche pas?

Posté par
Camélia Correcteurre : Calcul scientifique 10-04-07 à 16:57

Dans ton exemple, f'(x) tend vers 1 quand x tend vers +. Essaye de faire une démonstration par l'absurde en utilisant le théorème des valeurs intermédiaires.

Posté par
robby3re : Calcul scientifique 10-04-07 à 17:05

Une démonstration par l'absurde!!
Soit!!

on suppose que f est contractante:
\rm \exists k\in [0,1[ / |f(x)-f(y)|\le k.|x-y|
ou bien:
\rm \exists k\in [0,1[ / |f'(x)|\le k

tu veux que j'utilise le TVI?? mais celui-ci ne'implique t-il pas qu'on se place sur un intervalle [a,b] tel que f(a) et f(b) soient de signes opposés...or ici,f et f' sont définies sur R+ ... je vois pas trop?
je fais fausse route?

Posté par
Camélia Correcteurre : Calcul scientifique 10-04-07 à 17:11

Voilà:

Supposons qu'il existe k<1 tel que pour tout x et tout y on ait |f(x)-f(y)k|x-y|. Comme lim f'(x)=1 pour x tendant vers +, il existe a tel que pour x>a on ait f'(x)>k. Si b>a, le théorème des accroissements finis sur [a,b] donne l'existence de c tel que
\|\frac{f(x)-f(y)}{x-y}\|=f'(c)>k
et voilà la contradiction.

Posté par
robby3re : Calcul scientifique 10-04-07 à 17:18

ahh ok théorème des accroissements finis!!
autant pour moi!
d'accord,ok merci bien!!

Posté par
Camélia Correcteurre : Calcul scientifique 10-04-07 à 17:33

Tu as raison, c'est moi qui ai mal écrit!

Posté par
robby3re : Calcul scientifique 10-04-07 à 18:10

je poursuis sur ce topic,car il s'agit toutjours de calcul scientifique...
Voici le sujet:

\rm \fbox{Exercice 3}

\rm x_{n+1}=g(x_n) et x_0 donné. \\ On suppose que x_n \in[a,b],et sur [a,b]: |g'|\le M<1 \\ On sait que x_n-\alpha ou \alpha est l'unique poitn fixe de g

\rm a)Ecrire x_{n+1}-x_n en fonction de (x_n-\alpha) \\ En deduire: \\ \\ |x_n-\alpha|\le \frac{|x_{n+1}-x_n|}{1-M} et |x_{n+1}-x_n|\le |x_n-\alpha|.(1+M)

\rm b)Encadrer \frac{|x_{n+1}-\alpha|}{|x_n-\alpha|^p} par deux termes dependant de \frac{|x_{n+2}-x_{n+1}|}{|x_{n+1}-x_n|^p}

\rm Verifier que l'ordre<=> lim \frac{ln(|x_{n+2}-x_{n+1})|}{ln(|x_{n+1}-x_n|)}


Voila donc en faite il y a pas de probleme pour a) mais pour b) certaines choses m'échappent,voici ce qu'on a marqué:

\rm \frac{|x_{n+2}-x_{n+1}|}{|x_{n+1}-x_n|}.\frac{(1-M)^p}{1+M} \le \frac{|x_{n+1}-\alpha|}{|x_n-\alpha|^p}\le \frac{|x_{n+2}-x_{n+1}|}{|x_{n+1}-x_n|}.\frac{(1+M)^p}{1-M}

la en fait je voudrais savoir d'ou cette inégalité sort??

aprés bah en TD,ce que j'ai écrit,ça part n'importe ou,on comprend rien donc si quelqu'un pouvait m'aider à le refaire....
Merci d'avance de vos réponses et de votre patience.

Posté par
robby3re : Calcul scientifique 10-04-07 à 22:51

est-ce que quelqu'un connait tout simplement cette matiere??
je voudrais connaitre le but de la matiere et qu'est ce qu'on y apprend?

Merci d'avance de votre aide sur cet exercice et si vous connaissez la matiere je serais content si vous me disiez ce que vous avez fait.

Posté par
robby3re : Calcul scientifique 11-04-07 à 11:34

(c'est bon j'ai compris!!! j'ai trouvé la réponse ama question...mais j'ai d'autres questions toujours dans cette matiere,je vais faire un autre topic...celui la est déja bien chargé )
(merci à ceux qui y auront réfléchi.


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