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Calcule d Integral

Posté par
Ksilver 24-02-06 à 22:56

Bonsoir !


j'essai de montré que :

\displaystyle\int _{0}^{\pi} \!{\frac { 3\,\cos\left(2\,x \right) +1+8\,\cos\left( x \right) }{\sqrt {2+\cos \left( x \right) }}}{dx} = 0



mais je suis completement a cours d'idee pour le faire... quelqu'un voit-il comment je pourait m'y prendre ?

Posté par
kaiser Moderateurre : Calcule d Integral 24-02-06 à 23:04

bonsoir Ksilver

c'est bien 3cos(2x) ?

Kaiser

Posté par
Ksilverre : Calcule d Integral 24-02-06 à 23:23

Bonsoir !

oui c'est bien 3*cos(2x), c'est mal passé avec le latex on dirait

Posté par
Ksilverre : Calcule d Integral 25-02-06 à 15:43

bon c'est vrai qu'elle est tres moche... mais personne a une petite idee pour simplifier sa ?

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Calcule d Integral 01-03-06 à 18:11

Bonjour;
Je crois qu'elle n'est pas aussi moche que ça
En posant \fbox{f(x)=sqrt{2+cos(x)}} on a \fbox{f'(x)=-\frac{sin(x)}{sqrt{2+cos(x)}}\\f''(x)=-\frac{1+2cos(x)}{(2+cos(x))\sqrt{2+cos(x)}}} d'où \fbox{-\frac{1+2cos(x)}{\sqrt{2+cos(x)}}=(2+cos(x))f''(x)}
\fbox{\int_{0}^{\pi}\hspace{5}\frac{3cos(2x)+8cos(x)+1}{sqrt{2+cos(x)}}dx=\int_{0}^{\pi}\hspace{5}\frac{6cos^2(x)+8cos(x)-2}{sqrt{2+cos(x)}}dx=\int_{0}^{\pi}\hspace{5}\frac{6cos^2(x)+12cos(x)-8cos(x)-2}{sqrt{2+cos(x)}}dx\\=\int_{0}^{\pi}\hspace{5}6cos(x)sqrt{2+cos(x)}dx+\int_{0}^{\pi}\hspace{5}-\frac{2cos(x)+1}{sqrt{2+cos(x)}}dx=6\int_{0}^{\pi}\hspace{5}\underb{cos(x)}_{u'(x)}\underb{sqrt{2+cos(x)}}_{v(x)}dx+\int_{0}^{\pi}\hspace{5}\underb{(2+cos(x))}_{\alpha(x)}\underb{f''(x)}_{(f')'(x)}dx}
en intégrant par parties comme indiqué ci dessus on aboutit au résultat:
\blue\fbox{\int_{0}^{\pi}\hspace{5}\frac{3cos(2x)+8cos(x)+1}{sqrt{2+cos(x)}}dx=\int_{0}^{\pi}\hspace{5}\frac{sin^2(x)}{sqrt{2+cos(x)}}dx-\int_{0}^{\pi}\hspace{5}\frac{sin^2(x)}{sqrt{2+cos(x)}}dx=0}
Sauf erreurs bien entendu

Posté par
Ksilverre : Calcule d Integral 01-03-06 à 18:53

hum... oui effectivement ^^

merci beaucoup la !

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Calcule d intégrale 01-03-06 à 20:51

Désolé Ksilver,je crois que j'y suis allé un peu trop vite mais cela peut s'arranger et l'idée est là:
On a plutôt \fbox{f'(x)=-\frac{sin(x)}{2sqrt{2+cos(x)}}\\f''(x)=-\frac{1}{8}\frac{cos(2x)+8cos(x)+3}{(2+cos(x))\sqrt{2+cos(x)}}} et on voit que
\fbox{-8(2+cos(x))f''(x)=\frac{cos(2x)+8cos(x)+3}{\sqrt{2+cos(x)}}=\frac{3cos(2x)+8cos(x)+1}{\sqrt{2+cos(x)}}-\frac{2cos(2x)-2}{\sqrt{2+cos(x)}}=\frac{3cos(2x)+8cos(x)+1}{\sqrt{2+cos(x)}}+4\frac{sin^2(x)}{\sqrt{2+cos(x)}}}
Si on note I l'intégrale à calculer on voit que \fbox{I=-8\int_{0}^{\pi}\hspace{5}\underb{(2+cos(x))}_{g(x)}\underb{f''(x)}_{(f')'(x)}dx-4\int_{0}^{\pi}\hspace{5}\frac{sin^2(x)}{sqrt{2+cos(x)}}dx} c'est à dire que
\fbox{I=-8\underb{[(2+cos(x))f'(x)]_{0}^{\pi}}_{=0}+8\int_{0}^{\pi}\hspace{5}(-sin(x))f'(x)dx-4\int_{0}^{\pi}\hspace{5}\frac{sin^2(x)}{sqrt{2+cos(x)}}dx} et il suffit maintenant de remplaçer f'(x) par sa valeur pour voir que \fbox{I=4\int_{0}^{\pi}\hspace{5}\frac{sin^2(x)}{sqrt{2+cos(x)}}dx-4\int_{0}^{\pi}\hspace{5}\frac{sin^2(x)}{sqrt{2+cos(x)}}dx=0}
Voilà j'espére que c'est juste cette fois


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