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Calculer la limite de ln(n - ln(n)) / ln(n)

Posté par
ArnaudMartin 13-05-16 à 22:01

Bonsoir à tous !
J'ai besoin de calculer cette limite : $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty}{\frac{ln(n-ln(n))}{ln(n)}}$

Cette limite est égale à 1, je l'ai vérifié sur Internet après l'avoir trouvé en utilisant l'équivalence entre n et (n - ln(n)).

Or, lorsque j'essaie de le démontrer par en factorisant par n à l'intérieur du ln(), je finis par trouver que cela tend vers 0 !
Est-ce que vous pouvez m'expliquer pourquoi je fais cette erreur svp ?
Voici la liste des étapes :

$\lim\limits_{n \rightarrow +\infty}{\frac{ln(n-ln(n))}{ln(n)}}$

= $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty}{\frac{ln(n(1 - \frac{ln(n)}{n}))}{ln(n)}}$

= $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty}{\frac{ln(n)ln(1 - \frac{ln(n)}{n})}{ln(n)}}$

= $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty}ln(1 - \frac{ln(n)}{n})$

Comme $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty}\frac{ln(n)}{n}$ = 0, on a donc :

$\lim\limits_{n \rightarrow +\infty}{\frac{ln(n-ln(n))}{ln(n)}} = \lim\limits_{n \rightarrow +\infty}ln(1) = 0$

Merci d'avance pour vos réponses !

Posté par
ThierryPomare : Calculer la limite de ln(n - ln(n)) / ln(n) 13-05-16 à 22:15

Bonjour,

Ton erreur est pourtant visible ! Si a, b\in\R^{+*}, alors \ln\,(a\,b)=\ln\,a+\ln\,b... Vois-tu ?

Posté par
ArnaudMartinre : Calculer la limite de ln(n - ln(n)) / ln(n) 13-05-16 à 22:19

Ah oui c'est terrible, merci beaucoup !

Posté par
etniopalre : Calculer la limite de ln(n - ln(n)) / ln(n) 13-05-16 à 23:29

Tant qu'on  n'a pas prouvé que la suite n   u_n :=\frac{ln(n-ln(n))}{ln(n)}}  converge  on n'a pas le droit d'écrire \lim\limits_{n \rightarrow +\infty}{u_n}} .

Posté par
ArnaudMartinre : Calculer la limite de ln(n - ln(n)) / ln(n) 13-05-16 à 23:45

etniopal @ 13-05-2016 à 23:29

Tant qu'on  n'a pas prouvé que la suite n   u_n :=\frac{ln(n-ln(n))}{ln(n)}}  converge  on n'a pas le droit d'écrire \lim\limits_{n \rightarrow +\infty}{u_n}} .


Donc d'après toi on n'a pas le droit d'écrire \lim\limits_{n \rightarrow +\infty}{n} = +\infty} puisque la suite n \rightarrow n ne converge pas ?
Je pense que tu confonds avec les séries, non ?

Posté par
etniopalre : Calculer la limite de ln(n - ln(n)) / ln(n) 14-05-16 à 00:08

non  !

Tout comme on ne peut écrire ln(t) sans avoir montré que t est > 0 , ni tan(s) sans avoir montré que s /2 + . ...etc
on ne peut pas écrire lim(u) sans avoir montré que  u converge !

Posté par
LeDinore : Calculer la limite de ln(n - ln(n)) / ln(n) 14-05-16 à 00:31

C'est bon Arnaud.
En calculant la limite tu prouves du même coup la convergence et tout va bien.

\lim _{n \to +\infty} \dfrac{\ln(n-\ln n)}{\ln n} = \lim _{n \to +\infty} \dfrac{\ln (n(1-\frac{\ln}{n}))}{\ln n} = \lim _{n \to +\infty} \dfrac{\ln n + \ln(1-\frac{\ln}{n})}{\ln n} = \lim _{n \to +\infty} 1 + \dfrac{\ln(1-\frac{\ln}{n})}{\ln n} = 1 + \dfrac 0 {+\infty} = 1

Posté par
david9333re : Calculer la limite de ln(n - ln(n)) / ln(n) 14-05-16 à 00:39

C'est bof quand même : le symbole "lim" est censé être utilisé lorsque la convergence est prouvée ; mais c'est un peu du pinaillage...

Je suggèrerai d'écrire (c'est même plus économique)
\cfrac{\ln(n-\ln n)}{\ln n}=\cfrac{\ln n+\ln\left(1-\cfrac{\ln n}{n}\right)}{\ln n}=1+\underset{n\to+\infty}{o}(1) donc \cfrac{\ln(n-\ln n)}{\ln n} converge vers 1.

Posté par
LeDinore : Calculer la limite de ln(n - ln(n)) / ln(n) 14-05-16 à 00:53

C'est quoi ce délire ?

Ce que j'ai écrit est rigoureusement exact.
Et la dernière égalité, qui parachève la preuve de l'existence de la limite en même temps que son calcul, rend toute la ligne parfaitement juste.

Posté par
LeDinore : Calculer la limite de ln(n - ln(n)) / ln(n) 14-05-16 à 00:56

La seule raison pour laquelle j'encouragerai  d'écrire  u(n)  = ...  et de ne passer à la limite qu'à la fin, c'est que c'est plus propre et que ça économise de l'écriture.

Posté par
mdr_nonre : Calculer la limite de ln(n - ln(n)) / ln(n) 14-05-16 à 01:12

bonsoir : )

ArnaudMartin,
Comme etniopal te l'a fait remarqué, tu n'as pas le droit d'écrire des choses comme :
\lim ... = \lim ... car par définition même d'une égalité cela suppose l'existence de la limite alors que celle-ci ne peut se prouver qu'à la fin.

Tu dois effectuer les transformations sur la fonction dans un coin avant de passer à la limite.

Posté par
mdr_nonre : Calculer la limite de ln(n - ln(n)) / ln(n) 14-05-16 à 01:14

Mais si les mathématiques ne représentent pas une matière clé de ton enseignement tu peux te permettre un tel manque de rigueur (bon à voir avec ton professeur aussi).

Posté par
LeDinore : Calculer la limite de ln(n - ln(n)) / ln(n) 14-05-16 à 01:35

Il va y avoir pas mal de manuels à rectifier dans ce cas.
Un cas parmi tant d'autres...

Calculer la limite de ln(n - ln(n)) / ln(n)

Posté par
LeDinore : Calculer la limite de ln(n - ln(n)) / ln(n) 14-05-16 à 01:37

Ils vont être contents les auteurs d'apprendre que les mathématiques ne représentent pas un élément clé de leur enseignement et qu'ils se sont permis un sérieux manque de rigueur...

Posté par
LeDinore : Calculer la limite de ln(n - ln(n)) / ln(n) 14-05-16 à 01:51

Encore un pour qui les mathématiques ne représentent pas un élément clé de son enseignement et qui se permet un tel manque de rigueur...

Calculer la limite de ln(n - ln(n)) / ln(n)

Posté par
LeDinore : Calculer la limite de ln(n - ln(n)) / ln(n) 14-05-16 à 02:04

Université Joseph Fourier de Grenoble...

Calculer la limite de ln(n - ln(n)) / ln(n)

... j'ai l'impression de collectionner des papillons...

Posté par
david9333re : Calculer la limite de ln(n - ln(n)) / ln(n) 14-05-16 à 02:24

LeDino, tu as dû étudier des maths, tu sais comment ça fonctionne. Une fois qu'on est à l'aise avec des notions, on fait un peu moins attention à la rédaction et on se permet des choses.

Les auteurs que tu cites n'ont pas tord, mais quand la fonction dont on veut prendre la limite n'est pas quelque chose d'aussi simple que les exemples ci-dessus, il est absolument nécessaire de vérifier que la limite existe avant de la manipuler !
Quand on est en phase d'apprentissage, ce qui est important, c'est de savoir calculer la limite, mais aussi de savoir qu'elle n'existe pas forcément !
Faire attention quand on écrit le symbole "lim" n'est pas une mauvaise habitude à prendre si l'on veut faire des mathématiques, car dès lors qu'on sort des réels ou des complexes, "lim" peut avoir plusieurs sens (selon la norme considérée par exemple, sur un evn).
Ici, il est évident que la fonction étudiée a une limite et ton calcul le prouve. Mais si ArnaudMartin se pose la question de comment calculer la limite, c'est qu'il n'est pas encore assez à l'aise avec la notion pour se passer de la rigueur.

Bref, vérifier qu'une limite existe avant d'écrire "lim", c'est montrer à son lecteur (puisqu'au brouillon la question ne se pose pas : libre à chacun d'écrire ce qu'il veut sur son brouillon) qu'on est conscient que ce n'est pas si simple et qu'on n'a pas juste eu un coup de chance car, ce coup ci, la limite existait !

Posté par
LeDinore : Calculer la limite de ln(n - ln(n)) / ln(n) 14-05-16 à 02:56

Je suis d'accord avec toi David sur le fait qu'il existe un piège et que l'utilisation d'égalités entre limites peut faire trébucher. Personnellement, je n'aime pas trop écrire ce genre d'égalités en chaîne et je préfère travailler sur la suite ou sur la fonction avant de passer à la limite (notamment parce que ça allège l'écriture, comme tu l'as montré).

Dans les classes ultérieures le problème se pose moins : on recourt souvent aux équivalents, ou mieux : aux DL qui offrent une écriture précise et beaucoup moins risquée.

Mais de là à dire que l'écriture d'égalités entre limites manque forcément de rigueur je ne suis pas d'accord. Quand l'enchaînement est clairement présenté, je ne vois ce qui logiquement interdit cette écriture, dans la mesure où elle est justifiée par la conclusion.

Avant de rédiger son post initial, je suppose qu'Arnaud a fait ses calculs au brouillon et trouvé une limite (il s'est trompé dans son calcul... mais pas sur le principe). Cette limite trouvée en fin de calcul justifie selon moi l'écriture qu'il a choisie, même si ce n'est pas celle que je lui recommanderais.

Je trouve que les interventions critiquant ses égalités entre limites était "rigides" et leur argumentation discutable...

Posté par
LeDinore : Calculer la limite de ln(n - ln(n)) / ln(n) 14-05-16 à 03:00

Ce que je fais pour ma part pour alléger au maximum, c'est de poser  f(x) =  ou  u(n) = d'entrée de jeu.  Comme ça je transforme à loisir... jusqu'au moment où je peux conclure  lim u(n) = ...  sans même à avoir répéter l'écriture de l'expression de départ.

Mais pour autant, la liberté prise par Arnaud ne me choque pas.

Posté par
david9333re : Calculer la limite de ln(n - ln(n)) / ln(n) 14-05-16 à 03:08

Tout à fait d'accord avec toi, sur tous les points !

Posté par
ArnaudMartinre : Calculer la limite de ln(n - ln(n)) / ln(n) 14-05-16 à 06:57

Ok ok ça marche j'ai compris le problème, que je ne fais habituellement pas puisque je transforme d'abord la fonction/suite avant d'écrire lim pour gagner de la place.

Toutefois je ne comprends toujours pas pourquoi il faudrait prouver la convergence d'une suite pour parler de sa limite. Que faire des suites ayant une limite infinie ? Et de la définition d'une suite ayant une limite infinie ?

Posté par
LeDinore : Calculer la limite de ln(n - ln(n)) / ln(n) 14-05-16 à 12:26

Citation :
Ok ok ça marche j'ai compris le problème, que je ne fais habituellement pas puisque je transforme d'abord la fonction/suite avant d'écrire lim pour gagner de la place.
Comme nous tous donc ...

Citation :
Toutefois je ne comprends toujours pas pourquoi il faudrait prouver la convergence d'une suite pour parler de sa limite.
Parce que si une suite n'a pas de limite, tu ne peux pas écrire grand chose sur elle qui ait du sens...
Et donc en particulier écrire une égalité entre les limites de deux suites qui n'ont pas de limite n'a pas de sens.

Ce que tu as écrit sur tes égalités entre limites n'était valable QUE parce que tu as bien abouti à une limite.

Lorsque tu écris tes premières égalités "en aveugle" en mode recherche pure, avant d'avoir abouti à une limite qui existe... tu cours le risque à chaque instant de tomber sur quelque chose qui n'ayant pas de limite, invalide tout ce que tu as écrit avant. C'est ça le danger contre lequel on te met en garde.

---
Si par exemple tu écris :

\lim_{n \to +\infty} \dfrac{n+2}{n^2+1} \sin n = \lim_{n \to +\infty} \dfrac{n}{n^2} \sin n = \lim_{n \to +\infty} \dfrac{\sin n}{n} = 0

... la dernière égalité sera vraie car  |\sin n| \le 1
... et du coup, toute les égalités précédentes sont justifiées "a posteriori".
Cette écriture est "agaçante", mais elle est valable (parce que la fin la justifie).

Maintenant  si tu écris :

\lim_{n \to +\infty} \dfrac{n^2+1}{n+2} \sin n = \lim_{n \to +\infty} \dfrac{n^2} {n}\sin n = \lim_{n \to +\infty} n \sin n}

... là tu tombes sur un os !
La limite finale à laquelle tu aboutis n'existe manifestement pas.
Donc tout ce qui précède n'a aucun sens. Les égalités sont fausses.

Il est là le problème qui requiert ta vigilance... et qui fait que l'écriture que tu as adoptée "choque" plus ou moins.

Posté par
mdr_nonre : Calculer la limite de ln(n - ln(n)) / ln(n) 14-05-16 à 12:28

Citation :
Toutefois je ne comprends toujours pas pourquoi il faudrait prouver la convergence d'une suite pour parler de sa limite.
Il ne s'agit pas de prouver la convergence mais l'existence.

\lim_{n\to+\infty} n = +\infty tu as le droit de l'écrire, aucun problème, la limite existe et est infinie. (etniopal t'a dit non pour autre chose sans doute.)

Une bonne fois pour toute, voici la définition de la limite d'une suite dans \mathbb{R}\cup\{-\infty , +\infty\} :
Soit u une suite réelle. Si la suite u possède une limite alors celle-ci est unique et elle est notée \lim_{n\to+\infty}u_n.

Semblable pour les fonctions.

Vois-tu la condition pour écrire \lim u maintenant ?

Tu pourras aussi remarquer que les tables d'opérations sur les limites (sommes, produits, etc.) supposent explicitement l'existence des limites engagées (finies ou infinies).

En somme, n'abuse pas d'une chaine d'égalité du type \lim ...= \lim ... = ... car elle suppose l'existence de la limite dès le début du raisonnement alors que l'existence ne se prouve qu'à la fin.

Posté par
LeDinore : Calculer la limite de ln(n - ln(n)) / ln(n) 14-05-16 à 12:41

mdr_non @ 14-05-2016 à 12:28

... En somme, n'abuse pas d'une chaine d'égalité du type \lim ...= \lim ... = ... car elle suppose l'existence de la limite dès le début du raisonnement alors que l'existence ne se prouve qu'à la fin.

Voilà qui devrait mettre tout le monde d'accord .

Posté par
carpediemre : Calculer la limite de ln(n - ln(n)) / ln(n) 14-05-16 à 12:45

LeDino @ 14-05-2016 à 01:35

Il va y avoir pas mal de manuels à rectifier dans ce cas.
Un cas parmi tant d'autres...

Calculer la limite de ln(n - ln(n)) / ln(n)


ce qui est écrit ici est exact : la limite du premier polynome est la limite du deuxième qui est elle-même -oo pour le premier exemple

pour le deuxième je ne suis pas d'accord car il y a une forme indéterminée d'une part et d'autre part voir le 2/ en dessous ....


où je rejoins etniopal c'est quand on manipule une expression

1/ il n'est nul besoin de se trainer un lim qui n'a aucunement lieu car :

2/ une expression est égale à une expression qui est égale à une expression qui ....
        et c'est seulement à la fin que je calcule la limite ...

3/ il existe une "arithmétique" des limites précise et rigoureuse (limite d'une somme, d'un produit, d'un quotient (avec dénominateur nul ou pas nul)) qui doit s'apprendre et se manipuler avec rigueur et méthode ....

et l'argument "c'est écrit dans les bouquins" ne tient plus .... depuis qu'ils sont remplis de conneries .... mais grave de grave ....

Posté par
LeDinore : Calculer la limite de ln(n - ln(n)) / ln(n) 14-05-16 à 12:58

On est tous d'accord sur le fait qu'il vaut mieux éviter l'enchaînement d'égalités entre limites.
Et pas seulement pour des raisons d'économie d'écriture.

Maintenant il faut justifier et expliquer pourquoi de façon correcte et non condamner aveuglément une écriture qui n'est pas fausse.

Pour mémoire...

\lim _{n \to +\infty} \dfrac{\ln(n-\ln n)}{\ln n} = \lim _{n \to +\infty} \dfrac{\ln (n(1-\frac{\ln}{n}))}{\ln n} = \lim _{n \to +\infty} \dfrac{\ln n + \ln(1-\frac{\ln}{n})}{\ln n} = \lim _{n \to +\infty} 1 + \dfrac{\ln(1-\frac{\ln}{n})}{\ln n} = 1 + \dfrac 0 {+\infty} = 1

Cette série d'égalités est vraie.
On peut la critiquer en expliquant ses dangers.
Mais pas décréter qu'elle est fausse.

Posté par
carpediemre : Calculer la limite de ln(n - ln(n)) / ln(n) 14-05-16 à 13:00

critique simple : on voit une suite de formes indéterminées ....

Posté par
mdr_nonre : Calculer la limite de ln(n - ln(n)) / ln(n) 14-05-16 à 13:28

carpediem,
Partant de la fin tu vois que la suite n \mapsto 1 + \frac{\ln\left(1 - \frac{\ln n}{n}\right)}{\ln n} a une limite, elle est finie et vaut 1, \lim_{n\to\infty} 1 + \frac{\ln\left(1 - \frac{\ln n}{n}\right)}{\ln n} = 1

Or \frac{\ln n + \ln\left(1 - \frac{\ln n}{n}\right)}{\ln n} = 1 + \frac{\ln\left(1 - \frac{\ln n}{n}\right)}{\ln n} d'où \lim_{n\to\infty} \frac{\ln n + \ln\left(1 - \frac{\ln n}{n}\right)}{\ln n} = \lim_{n\to\infty} 1 + \frac{\ln\left(1 - \frac{\ln n}{n}\right)}{\ln n} = 1

Et ainsi de suite. Quel est le problème ?

La forme indéterminée est par exemple celle-ci : \frac{\lim_{n\to\infty} \ln n + \ln\left(1 - \frac{\ln n}{n}\right)}{\lim_{n\to\infty} \ln n}
car les opérations sur la limite d'un quotient ont été appliquées. Ou on peut encore ajouter l'indétermination \frac{\lim_{n\to\infty} \ln n}{\lim_{n\to\infty} n}

Mais ce n'est pas ce qui est écrit.

Posté par
LeDinore : Calculer la limite de ln(n - ln(n)) / ln(n) 14-05-16 à 14:42

En fait, si on veut n'avancer qu'en écrivant des choses prouvées à chaque instant, il faudrait soit :

- Partir de la conclusion (qu'on a trouvée au brouillon ou calculée de tête, ici c'est facile...) et remonter de la droite vers la gauche (ce que vient de faire mdr_non)...

- Considérer que chaque fois qu'on écrit   " lim A = lim B "  cela signifie :  
"la limite, si elle existe, de A  est égale à la limite, si elle existe, de B"

Je pense que les gens qui écrivent des séries d'égalités de limites ont ça en tête.
Ett cette convention, si elle est bien comprise, me semble régler la question.

Posté par
LeDinore : Calculer la limite de ln(n - ln(n)) / ln(n) 14-05-16 à 14:45

Là où je donne "raison" à carpediem (et en général à ceux qui contestent cette écriture), c'est que l'apparente facilité d'écriture d'égalités successives masque parfois des difficultés non immédiatement visibles. Souvent, une égalité qui est vraie, sera en fait justifiée par un raisonnement un peu plus complexe que ce qu'il n'y parait.

Posté par
ArnaudMartinre : Calculer la limite de ln(n - ln(n)) / ln(n) 14-05-16 à 15:35

OK ça marche j'ai tout compris merci beaucoup !


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