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Calculer la somme

Posté par
assianounette 11-10-15 à 11:18

Bonjour,
dans un exercice je dois calculer la somme de (n-1)/(n3+3n²+2n) , sauf que je n'y arrive pas et ne comprends rien à la correction de mon professeur que j'ai du mal recopier :/

Merci
cordialement assianounette

Posté par
carpediemre : Calculer la somme 11-10-15 à 11:34

salut

tu dois calculer la somme de quoi ?

une somme contient au moins deux termes ...

alors donne un énoncé exact et complet ...

Posté par
alb12re : Calculer la somme 11-10-15 à 11:42

salut,
inadequation entre le niveau d'etudes et le niveau du topic

Posté par
mdr_nonre : Calculer la somme 11-10-15 à 11:48

bonjour : )

décomposition en élément simples ensuite exploiter \sum_{k=1}^n 1/k = \ln{n} + \gamma + o(1)

Posté par
carpediemre : Calculer la somme 11-10-15 à 12:05

n'importe quoi ...

Posté par
alainpaulre : Calculer la somme 11-10-15 à 12:09

Oui,


Juste une idée:


F(n)=\frac{n-1}{n(n+1)(n+2)},


Alaéin

Posté par
alb12re : Calculer la somme 11-10-15 à 12:13

salut,
les resultats (à demontrer) obtenus avec Xcas

partfrac((k-1)/(k^3+3k^2+2k));
somme((k-1)/(k^3+3k^2+2k),k,1,n);
somme((k-1)/(k^3+3k^2+2k),k,1,inf);

Posté par
mdr_nonre : Calculer la somme 11-10-15 à 12:16

carpediem

pourquoi n'importe quoi ? ça marche pourtant bien...

Posté par
carpediemre : Calculer la somme 11-10-15 à 12:53

alors lire le premier post de alb12 ...

d'autre part la seule réponse qui convienne est ::

\dfrac 1 {n(n + 1)(n + 2)} = \dfrac 1 2 (\dfrac 1 n  - \dfrac 2 {n + 1} + \dfrac 1 {n + 2})

donc

\dfrac {n - 1}{n(n + 1)(n + 2)} = \dfrac 1 2 (1 + \dfrac 1 n - 2(1 - \dfrac 2 {n + 1}) + 1 - \dfrac 3 {n + 2}) = \dfrac 1 2 (- \dfrac 1 n + \dfrac 4 {n + 1} - \dfrac 3 {n + 2})

et on se sert ensuite d'un bon télescope ...

Posté par
luzakre : Calculer la somme 11-10-15 à 14:47

Bonjour alb12 et carpediem !
A propos de

Citation :

alors lire le premier post de alb12 ...

On voit de plus en plus sur le forum des questions de niveau "Math Sup" ou autres posées par des profils se déclarant niveau "1ère" ou "tale".
Je pense qu'il s'agit d'une paresse à modifier son profil au fil des années!
Faut-il demander à un modérateur d'y mettre un peu le "holà" ? Peut-on obliger les questionneurs à donner le niveau réel de leurs études afin de fournir une réponse mieux adaptée ?
Car si on laisse faire il sera de plus en plus difficile de répondre de manière utile aux questionneurs. Pour ma part je me réfère uniquement au niveau de la question posée ce qui me met parfois "à côté de la plaque"!

Posté par
alb12re : Calculer la somme 11-10-15 à 14:52

à mon avis le niveau actuel du posteur est le seul pertinent.
Le niveau du topic demande une connaissance des programmes qui ont tendance à s'alleger au cours du temps

Posté par
mdr_nonre : Calculer la somme 11-10-15 à 15:23

assianounette si tu as déjà vu la constante d'Euler, et si jamais tu souhaites l'exploiter,

c'est tout aussi simple et rapide,

on commence par effectuer une décomposition en éléments simples ;

n^3 + 3n² + 2n = n(n² + 3n + 2) = n(n + 1)(n + 2)

(n - 1)/[n(n + 1)(n + 2)] = [-1/n + 4/(n + 1) - 3/(n + 2)]/2

puis en exploitant \sum_{n=1}^N 1/n = \ln{N} + \gamma + o(1)

on obtient :

-\sum_{n=1}^N 1/n = -\ln{N} - \gamma + o(1) \\ \\ \sum_{n=1}^N 1/(n + 1) = \sum_{n=2}^{N+1} 1/n = \ln{(N + 1)} + \gamma - 1 + o(1) \\ \Rightarrow  \sum_{n=1}^N 4/(n + 1) = 4\ln{(N + 1)} + 4\gamma - 4 + o(1) \\ \\ \sum_{n=1}^N 1/(n + 2) = \sum_{n=3}^{N+2} 1/n = \ln{(N + 2)} + \gamma - 1 - 1/2 + o(1) \\ \Rightarrow  \sum_{n=1}^N -3/(n + 1) = -3\ln{(N + 2)} - 3\gamma + 9/2 + o(1)


puis

\sum_{n=1}^N (n - 1)/(n^3 + 3n² + 2n) = (1/2)\left(-\ln{N} - \gamma + 4\ln{(N + 1)} + 4\gamma - 4 - 3\ln{(N + 2)} - 3\gamma + 9/2 + o(1)\right) \\ \\ = (1/2)\left(\ln{\frac{(N + 1)^4}{N(N + 2)^3} + 1/2 + o(1)\right)

et on peut conclure

\sum_{n=1}^\infty \frac{n - 1}{n^3 + 3n^2 + 2n} = ...

Posté par
luzakre : Calculer la somme 11-10-15 à 15:25

Je ne suis pas d'accord !
Il me semble que des questionneurs qui étaient en 1ère sont passés en Terminale puis en Prépa sans changer leur profil !
Alors s'il faut répondre à une question niveau "prépa" en utilisant uniquement les connaissances de "première" (que je n'essaierai même pas d'actualiser étant la mobilité des programmes) je crois que je vais jeter l'éponge !

Posté par
luzakre : Calculer la somme 11-10-15 à 15:27

Je répondais à alb12 évidemment !

Posté par
carpediemre : Calculer la somme 11-10-15 à 15:31

mdr_non :: MDR


pourquoi refaire ce qui fait ...

et il est inutile de passe par un dl et la constante ....

on somme jusqu'à N .... on télescope proprement ... et on fait tendre N vers 0 ...

Posté par
mdr_nonre : Calculer la somme 11-10-15 à 15:35

...

on ne peut se fier à rien (ce n'était pas comme ça quelques années auparavant),

le niveau indiqué par le topic :
des personnes peuvent poster un exercice dans le niveau 3ème alors que c'est du niveau terminal (pays différents, programmes différents)
des personnes postent en licence, mais elles ne font pas nécessairement une licence maths, ou une licence scientifique tout court,
...

le niveau indiqué dans le profil :
certaines personnes ne mettent pas à jour,
certaines personnes ont bien mis leurs niveaux d'études, mais ne suivent pas nécessairement le 'programme' pour ce niveau car... elles suivent des cours à distances, ou alors il s'agit d'une remise à niveau, ou alors...
...

...

Posté par
mdr_nonre : Calculer la somme 11-10-15 à 15:41

carpediem
oui ok ! : )
avec N vers l'infini,

Posté par
alb12re : Calculer la somme 11-10-15 à 15:51

j'ai dit le niveau actuel !
en fait quand un demandeur poste il faudrait qu'il precise son niveau actuel et son pays
lors de la demande, il faudrait un message lui rappelant de verifier son niveau d'etudes

Posté par
alainpaulre : Calculer la somme 11-10-15 à 16:17

Bon après-midi,


Oui,fournir un énoncé complet,
Oui,préciser son niveau actuel et son pays.


NON à ceux qui pense qu'il n'est plus possible de proposer d'autres voies.

Ces décompositions en fractions simples s'appuient sur a \neq b   \frac{1}{(n+a)(n+b)}=\frac{1}{b-a}(\frac{1}{n+a}-\frac{1}{n+b})  (1)
Il est parfois possible d'exprimer le numérateur ,linéairement par rapport à plusieurs facteurs du dénominateur,ici:n-1=2n-(n+1) et donc:

\frac{2n-(n+1)}{n(n+1)(n+2)}= \frac{2}{n+1)(n+2)}-\frac{1}{n(n+2)}
calcul ensuite avec (1),

D'accord,calculs faits, sur le bon télescope,


Alain


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